Interprétation géométrique des irrationels ?

[Linkounet]

Salut,

On peut donner une interprétation géométrique aux nombres réels algébriques, par exemple racine carrée de 2, comme étant la diagonale d'un carrée de longueur de côté un. Pour le nombre transcendant Pi, il s'agit de la circonférence d'un cercle de diamètre un. Mais qu'en est-il des autres nombres transcendants, comme la constante de Néper ?
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[martini_bird]

Salut,

en un certain sens, tous les nombres (ou presque) sont transcendants.

Exiger que chacun d'eux soit remarquable ou admette une interprétation géométrique simple (ou non) relèverait d'un fantasme encyclopédique digne de Bouvard et Pécuchet !

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

On peut donner une interprétation géométrique aux nombres réels algébriques, par exemple racine carrée de 2, comme étant la diagonale d'un carrée de longueur de côté un. Pour le nombre transcendant Pi, il s'agit de la circonférence d'un cercle de diamètre un. Mais qu'en est-il des autres nombres transcendants, comme la constante de Néper ?

D'abord, attention, la question du titre n'est pas la même que celle ci-dessus.

Pour e, on peut trouver des tonnes d'exemples, par exemple c'est l'aire sous la fonction exponentielle entre -oo et 1.

Par contre, il ne faut pas en espérer trop, il ne peut exister de telles interprétations que pour un nombre dénombrable de nombres transcendants ...

[Médiat]

Bonjour martini_bird (tu te fais rare ...)

en un certain sens, tous les nombres (ou presque) sont transcendants.

Méchant ! tu aurais, au moins pu écrire "presque tous les nombres sont transcendants".

Exiger que chacun d'eux soit remarquable [...] relèverait d'un fantasme encyclopédique digne de Bouvard et Pécuchet !

Tu es bien en train de dire que certains nombres sont remarquables, et bien celui que j'aime le plus c'est le plus petit nombre entier qui ne le soit pas .

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut Médiat,

Méchant ! tu aurais, au moins pu écrire "presque tous les nombres sont transcendants".

En effet, mais c'était plier à un jargon clair et lourd de sens pour le spécialiste et parfois source de confusion pour le néophyte (bien qu'ici, je le concède, ce n'eût point dérouter le lecteur... ). Et puis ça donne un côté sensationnel à mon propos...

Tu es bien en train de dire que certains nombres sont remarquables, et bien celui que j'aime le plus c'est le plus petit nombre entier qui ne le soit pas .

Je te reconnais bien là.

Cordialement.

[ericcc]

Salut Médiat,



En effet, mais c'était plier à un jargon clair et lourd de sens pour le spécialiste et parfois source de confusion pour le néophyte (bien qu'ici, je le concède, ce n'eût point dérouter le lecteur... ). Et puis ça donne un côté sensationnel à mon propos...



Je te reconnais bien là.

Cordialement.

François Le Lionnais a écrit un livre, publié chez Hermann si ma mémoire est bonne, qui classe les nombres remarquables par ordre croissant. Sa lecture est fort instructive

[Seirios]

Bonjour,

Par contre, il ne faut pas en espérer trop, il ne peut exister de telles interprétations que pour un nombre dénombrable de nombres transcendants ...

Pourquoi ?

En effet, mais c'était plier à un jargon clair et lourd de sens pour le spécialiste et parfois source de confusion pour le néophyte (bien qu'ici, je le concède, ce n'eût point dérouter le lecteur... ).

Moi je ne vois pas la différence Y a-t-il quelqu'un pour l'expliquer au néophyte ?

[Médiat]

Bonjour,

Pourquoi ?

Parce que, en tout état de cause, nous ne pouvons définir explicitement qu'un nombre dénombrable de transcendants (par une phrase finie, même aussi grande que l'on veut), donc même si on peut tous les interpréter géométriquement de façon satisfaisante, cela reste dénombrable.

[martini_bird]

Salut,

Moi je ne vois pas la différence Y a-t-il quelqu'un pour l'expliquer au néophyte ?

L'expression "presque tous les " a une signification précise (dans un contexte mathématique approprié, bien entendu), à savoir : "tous les , où N est un ensemble (négligeable) de mesure nulle" (le contexte fournit la mesure entendue).

Dans le cadre de ce fil, l'ensemble des nombres algébriques est en effet négligeable pour la mesure de Lebesgue.

Cordialement.

[Seirios]

Parce que, en tout état de cause, nous ne pouvons définir explicitement qu'un nombre dénombrable de transcendants (par une phrase finie, même aussi grande que l'on veut),

Je ne vois pas pourquoi ; ne pourrait-on pas déterminer une propriété qui ferait qu'un nombre est transcendant, et que cette propriété fasse référence à un nombre indénombrable d'éléments ?

Dans le cadre de ce fil, l'ensemble des nombres algébriques est en effet négligeable pour la mesure de Lebesgue.

Je ne connais pas grand chose à la théorie de la mesure, donc dans les grandes lignes, comment définit-on la mesure de Lebesgue ?

[Médiat]

Je ne vois pas pourquoi ; ne pourrait-on pas déterminer une propriété qui ferait qu'un nombre est transcendant, et que cette propriété fasse référence à un nombre indénombrable d'éléments ?

C'est effectivement facile, il suffit de considérer les nombres transcendants qui ne peuvent pas s'écrire comme une combinaison algébrique (sur Q)de , mais la question n'est pas là, la question est de donner une interprétation géométrique à chaque nombre transcendant, pour donner une interprétation à un nombre, il faut pourvoir le définir "individuellement", et cela n'est possible que pour un nombre dénombrable de transcendants, donc il va en manquer beaucoup.

Bien sur on peut toujours dire que e est la diagonale d'un carré de longueur , mais je ne pense pas que ce genre de réponse donne satisfaction à Linkounet.

[Médiat]

Une façon largement plus pédante, mais peut-être plus démonstrative, de me paraphraser, c'est de considérer une base de transcendance de IR, qui n'est donc pas dénombrable, on ne peut individualiser qu'un nombre dénombrable d'éléments de cette base, et le corps engendré par cette sous-base des éléments définissables est dénombrable, or pour parler d'un nombre transcendant qui ne soit pas dans ce sous-corps ... il faudrait le définir (pour un élément non définissable, cela ne va pas être facile ).

[Seirios]

Bien sur on peut toujours dire que e est la diagonale d'un carré de longueur , mais je ne pense pas que ce genre de réponse donne satisfaction à Linkounet.

C'est vrai qu'il faudrait préciser ce que l'on entend par interprétation géométrique, mais qu'est-ce qui empêche de pouvoir donner une interprétation géométrie, paramétrée par une variable réelle x par exemple, à un ensemble indénombrable de nombres irrationnels ? Ce qui me dérange, c'est le individuellement, je n'en vois pas la justification.

[Médiat]

C'est vrai qu'il faudrait préciser ce que l'on entend par interprétation géométrique, mais qu'est-ce qui empêche de pouvoir donner une interprétation géométrie, paramétrée par une variable réelle x par exemple, à un ensemble indénombrable de nombres irrationnels ? Ce qui me dérange, c'est le individuellement, je n'en vois pas la justification.

Comment faites-vous pour donner une interprétation géométrique, ou toute autre caractérisation d'un nombre transcendant qui n'appartient pas au sous-corps engendré par les transcendants que vous êtes capables de définir, à part pour dire que vous ne pouvez pas le définir ?

Autrement dit comment pouvez-vous parler d'un nombre dont la définition est que vous ne pouvez pas en parler, à part pour dire que vous ne pouvez pas en parler ?

Bien sur, je ne considère pas que si x est un réel non définissable, alors y = 3x serait une définition constructive de y.

[am2004]

Effectivement, il faudrait préciser ce que chacun entend par les concepts sous-jacents dans cette discussion.
On pourrait situer cette discussion dans un contexte mathématiquement clair : celui des sous-ensembles (cela comprend les singletons) définissables d'un ensemble donné, au sens de la théorie des modèles, dans un langage fixé.
Dans ce cadre on peut donner une signification bien précise aux assertions de Phys2 et Médiat.
Dans tous les cas, on accepte qu'une définition dans un langage donné sur un alphabet fini ou dénombrable est constituée d'une suite FINIE de lettres de l'alphabet. On montre (c'est un exercice facile de calculs des cardinaux) qu'il ne peut y avoir qu'un nombre dénombrable de telles suites et donc de définitions et par conséquent de sous-ensembles définissables dans un langage donné. Maintenant si on accepte un ou plusieurs paramètres, cela revient à enrichir l'alphabet de départ par toutes les valeurs possibles pour les paramètres et dans ce cas si le cardinal de l'ensemble des paramètres est plus que dénombrable, l'ensemble des suites finies sur cet alphabet enrichi sera celui de l'ensemble des paramètres (facile également). Pour en revenir aux objets définissables via ces définitions, il faut aussi tenir compte que deux définitions distinctes (en terme de suite de lettres-on dit syntaxiquement distinctes) peuvent définir le même sous-ensemble.
Pour en savoir plus, lire par exemple le livre de Cori-Lascar : Logique Mathématique 1 et 2.

C'est vrai qu'il faudrait préciser ce que l'on entend par interprétation géométrique, mais qu'est-ce qui empêche de pouvoir donner une interprétation géométrie, paramétrée par une variable réelle x par exemple, à un ensemble indénombrable de nombres irrationnels ? Ce qui me dérange, c'est le individuellement, je n'en vois pas la justification.

[Médiat]

Maintenant si on accepte un ou plusieurs paramètres, cela revient à enrichir l'alphabet de départ par toutes les valeurs possibles pour les paramètres et dans ce cas si le cardinal de l'ensemble des paramètres est plus que dénombrable, l'ensemble des suites finies sur cet alphabet enrichi sera celui de l'ensemble des paramètres (facile également).

C'est factuellement exact, mais non pertinent avec la question, car l'ensemble de paramètres ne peut être ici constitué que de nombres définissables, donc un ensemble dénombrable !

J'ai déjà donné cet exemple, je le répète d'une autre façon : tous les nombres réels peuvent être considéré comme la diagonal d'un carré dont le coté est bien choisi, mais cela ne répond pas à la question !

Une propriété géométrique, telle que demandée par le posteur initial, c'est :
Une propriété (dénombrable) d'une figure géométrique définissable (dénombrable) paramétrée par un ensemble fini de nombres définissables (dénombrables). Une telle définition est très très large, car elle suppute que si e et ont une interprétation géométrique, alors en a une (je vous laisse l'écrire).

Il suffit d'avoir en tête qu'il existe un nombre non dénombrable de nombres transcendants qui ne sont pas réductibles les uns aux autres dans le langage des corps !

[am2004]

En fait je pense que vous faites une confusion entre définissablité (qui a un sens très précis) et constructibilité ou définissabilité récursive (qui ont également un sens très précis). On a que la dénombrabilité n'est pas équivalente à "la constructibilité".
On peut définir différentes notions (par exemple via des notions algorithmiques sans oracle ou via des notions de constructibilité telle qu'introduite par Brouwer) qui implique que les objets définis dans ces cadres sont en quantité dénombrable mais ce sont des notions plus restrictives que la notion mathématique de définissabilité.
Je ne comprends pas non plus le sens mathématique précis de votre phrase sur la réductibilité des nombres transcendants dans le langage des corps.

[Médiat]

En fait je pense que vous faites une confusion entre définissablité (qui a un sens très précis) et constructibilité ou définissabilité récursive (qui ont également un sens très précis).

J'utilise la définition habituelle : un nombre est définissable (dans un certain langage et une certaine théorie) si il existe une formule (de ce langage) telle que la théorie permet de démontrer qu'il existe un et un seul élément qui vérifie p(x).
Je ne vois pas ce que vous voulez dire par nombre constructible dans ce contexte (pour moi cette expression fait référence à la construction à la règle et au compas (donc dénombrable)), si vous voulez parler de nombres calculables, il y en a moins que de définissables, donc dénombrables.
Je ne vois pas ce que vous voulez dire par "définissabilité récursive", mais en général, quand on parle d'ensembles récursifs, on parle d'ensembles d'entiers (donc dénombrables).

On a que la dénombrabilité n'est pas équivalente à "la constructibilité".

Je ne vois pas ce que veux dire l'équivalence entre un cardinal et un processus ?

On peut définir différentes notions (par exemple via des notions algorithmiques sans oracle ou via des notions de constructibilité telle qu'introduite par Brouwer) qui implique que les objets définis dans ces cadres sont en quantité dénombrable mais ce sont des notions plus restrictives que la notion mathématique de définissabilité.

Quelle est votre définition de "la notion mathématique de définissabilité" ?

Je ne comprends pas non plus le sens mathématique précis de votre phrase sur la réductibilité des nombres transcendants dans le langage des corps.

Je ré-écris ma phrase :

Il suffit d'avoir en tête qu'il existe un nombre non dénombrable de nombres transcendants qui ne sont pas expressibles les uns à l'aide des autres dans le langage des corps !
Pour vous en convaincre, il suffit de penser à une base de transcendance de IR.

[invitefa064e43]

à ce propos, je me permets de conseiller la lecture du livre "Logique, informatique et paradoxe" chap. 4 "Le désordre total existe t-il?" de Jean-Paul Delahaye ed. Belin Pour la science .

Il y expose de manière très claire et très vulgarisée l'idée que justement, le fait que la plupart des nombres transcendants ne peuvent être calculés par une formule est une bonne base pour une définition mathématique correcte de suites "aléatoires".