Ensemble et application

[zanarkand]

Bonjour à tous,

je cherche à démontrer une évidence qui ne l'est pas pour moi :

soient A, B, E et F quatre ensembles, soit f une application.

Si A c B c E, alors f(A) c f(B).
De même, si A c B c F, alors f^-1(A) c f^-1(B)

Pouvez-vous m'aider SVP ?

[_Pat_]

Je suppose que est une application bijective de .

On a
.
d'où ton premier résultat

en remplaçant par (en supposant qu'elle existe), on obtient ton deuxième résultat. Que ne comprends tu pas?

[zanarkand]

De ma capacité à ne pas savoir démontré des choses évidentes...

Grand merci Pat.

[jobherzt]

Attention ! Il n'est ni precisé, ni necessaire que f soit bijective... Si A est sous ensemble de F et si f est une application quelconque de E dans F, alors par definition l'ensemble est :

[zanarkand]

Je propose cette démonstration :

Soit un x \in A, f(a) \in f(A). a \in A => a \in B, donc f(a) \in f(B).


Soit un f(a) \in A => a \in f^-1(A). f(a) \in A
=> f(a) \in B => a \in f^-1(B)


Voilà, est-ce que c'est correct ?

[jobherzt]

Je propose cette démonstration :

Soit un x \in A, f(a) \in f(A). a \in A => a \in B, donc f(a) \in f(B).


Soit un f(a) \in A => a \in f^-1(A). f(a) \in A
=> f(a) \in B => a \in f^-1(B)


Voilà, est-ce que c'est correct ?

Pas tout a fait, ca n'est pas tres correct d'ecrire "soit f(a) \in (quelque chose)", meme si on sent ce que tu veux dire...

Il vaut mieux, pour le 2e par exemple, commencer par : soit . Par definition, ca signifie que , donc , donc par definition de , .

[zanarkand]

Très bien j'ai compris les quatre coins de la démo, merci beaucoup.

Une dernière chose, comment fait-on apparaitre les "appartient à" au lieu des \in ?

(je suis néophyte du forum et je sais pas encore comment faire pour écrire matheux sur le forum...)

[_Pat_]

Effectivement, cela fait un certain temps que je n'ai pas manipulé ces notions, mea culpa...

Pour les formules mathématiques en : balises tex et /tex entre crochets.

[jobherzt]

Il faut les entourer de balises

[tex](code latex)[/tex]

(ne fais pas attention a l'intitulé "code HTML" c'etait pour ne pas qu'il me mange lesdites balises)

tu as aussi un bouton en haut à droite de la zone de texte ou il est ecrit