Définition du cardinal, et autres...

[invitea77054e9]

Bonjour,

Je suis tombé sur la définition suivante ("Cours de mathématiques spéciales" de Bernard Gostiaux) :

"A chaque ensemble X, on associe un ensemble noté card(X) vérifiant les deux conditions suivantes:
-pour tout ensemble X, les ensembles X et card(X) sont équipotents.
-pour tout couple d'ensembles équipotents (X,Y), on a card(X)=card(Y) ."

On note 1 le cardinal des ensembles du type {x}, où x est un objet de la théorie mathématique.
En particulier, l'ensemble des parties de l'ensemble vide est de ce type.
Enfin, on note 0 le cardinal de l'ensemble vide.

Jusqu'ici, rien de bien difficile, mais ce qui suit me pose problème:

"On appelle somme de deux cardinaux a et b le cardinal de l'ensemble
(a x {0}) (b x {1}) ,
où x désigne le produit cartésien de deux ensembles."
J'avoue ne pas comprendre cette définition de l'addition.

Si quelq'un peut m'éclairer.

[invitea7319a17]

Bonsoir,
cela est tres probablement du au propriétés de distributions des opérateurs d'union ("OU") et de reunion ("ET") sur les produits cartésiens !

[inviteaeeb6d8b]

Salut evariste !

est-ce que tu vois le cardinal comme le nombre d'éléments de ton ensemble ?
je me doute que tu sais que c'est ça, mais est-ce qu'en essayant de comprendre ces propriétés tu le vois comme ça ?

pour moi, c'est loin d'être limpide, mais la dernière propriété me semble quand même claire en le voyant comme ça.

En espérant t'avoir aidé... même si je suis loin de le pouvoir

[invitebbdbf477]

Jusqu'ici, rien de bien difficile, mais ce qui suit me pose problème:

"On appelle somme de deux cardinaux a et b le cardinal de l'ensemble
(a x {0}) (b x {1}) ,
où x désigne le produit cartésien de deux ensembles."
J'avoue ne pas comprendre cette définition de l'addition.

Le cardinal de est ; de même, le cardinal de est . L'intérêt de faire ces produits cartésiens avec deux singletons différents est d'assurer que la réunion précédente soit disjointe, et qu'on ne compte pas deux fois le même élément. Pour voir ça intuitivement, pense au cas où tu manipules des cardinaux finis, ce qui revient à compter les éléments au sens naïf...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9ac74dc1]

Bonjour, meme si la question ne date pas d'hier...

Pour moi ,si a est un cardinal,il existe un ensemble A tel que a et A sont équipotents et a x {0} est équipotent à A. De meme pour b,b est équipotent à B et b x {1} est équipotent à B ,la réunion dont tu parles est alors la réunion de deux ensembles dont l'un est équipotent à A et l'autre à B et telle que ces deux ensembles sont disjoints(puisque a x {0} est l'ensemble des éléments de la forme (y,0) ou yEa et bx{1}={(z,1)/zEb} ,"yEa signifie y appartient à a").