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racine carré et irrationnel ?

  1. Sarameen

    Date d'inscription
    août 2005
    Messages
    9

    racine carré et irrationnel ?

    Je me souviens de la démonstration que racine carré de 2 est un irrationnel.

    Je me demande si par généralisation, les racines carrés de tout nombre premier est irrationnel ?

    Et encore plus, si toute puissance 1/n ou n>1 d'un nombre premier est irrationnel ?

    Merci de me renseigner

    -----

     


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  2. martini_bird

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Paris
    Âge
    37
    Messages
    6 910

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Salut et bienvenue,

    en effet et la démonstration est identique: si p1/n=a/b avec a/b irréductible, alors bnp=an. On en déduit que p divise an et donc que p divise a. Mais alors an=pna'n et p divise aussi bn, ce qui contredit le fait que a/b soit irréductible.

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 17/08/2005 à 08h58.
     

  3. evariste_galois

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Localisation
    Lyon
    Âge
    32
    Messages
    582

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Salut,

    Il me semble que si d n'est pas un carré parfait, i.e il n'existe pas un entier naturel b tel que b²=d, alors la racine carrée de d est irrationnelle. Meme principe de démonstration que celui utilisé par Martini.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."
     

  4. g_h

    Date d'inscription
    décembre 2004
    Âge
    30
    Messages
    1 060

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Salut,

    Il me semble que si d n'est pas un carré parfait, i.e il n'existe pas un entier naturel b tel que b²=d, alors la racine carrée de d est irrationnelle. Meme principe de démonstration que celui utilisé par Martini.

    Hein ?
    Il n'existe pas de naturel b tel que b² = 9/4, or qui est un rationnel ... !
     

  5. evariste_galois

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Localisation
    Lyon
    Âge
    32
    Messages
    582

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Citation Envoyé par g_h
    Hein ?
    Il n'existe pas de naturel b tel que b² = 9/4, or qui est un rationnel ... !
    Relis bien mon message, j'ai dit "il n'existe pas un entier naturel b tel que b²=d", toi tu poses b=3/2, qui n'est pas un entier naturel .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."
     


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  6. g_h

    Date d'inscription
    décembre 2004
    Âge
    30
    Messages
    1 060

    Re : racine carré et irrationnel ?

    haha, décidément faudra que j'apprenne à lire...

    EDIT : en fait non, ton énoncé est ambigu
    Dernière modification par g_h ; 17/08/2005 à 13h38.
     

  7. evariste_galois

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Localisation
    Lyon
    Âge
    32
    Messages
    582

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Citation Envoyé par g_h
    haha, décidément faudra que j'apprenne à lire...

    EDIT : en fait non, ton énoncé est ambigu

    J'aurais peut-être du précisé que d est un entier naturel, mais c'était sous-entendu vu je parlais de carré parfait.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."
     

  8. Moma

    Date d'inscription
    juin 2005
    Localisation
    Lyon/L'aigle/Caen
    Âge
    32
    Messages
    105

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Salutations,

    En effet, l'énoncé est un peu ambigu au niveau de la distinction rationnels/entiers. Enfin je trouve.

    Je dirait plutôt et plus généralement :

    Si a/b n'est pas une puissance n-ième (i.e. a et b le sont), alors sa racine n-ième est irrationnelle. Voila. La démonstration est essentiellement la même.


    Amicalement
    Moma
     

  9. evariste_galois

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Localisation
    Lyon
    Âge
    32
    Messages
    582

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Petite généralisation, si d n'est pas quotient de carrés parfaits, alors sa racine carrée est irrationnelle.

    EDIT : croisement avec Moma, qui a encore plus généralisé que moi .
    Dernière modification par evariste_galois ; 17/08/2005 à 13h46.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."
     

  10. Sarameen

    Date d'inscription
    août 2005
    Messages
    9

    Re : racine carré et irrationnel ?

    En fait, ce qui m'a toujours fâché, c'est ce passage :

    Citation Envoyé par martini_bird
    ... que p divise an et donc que p divise a.
    Parce que ca, ca ne marche que si p est premier, mais je n'ai jamais réussis à l'écrire de facon rigoureuse.

    (25 divise 102 mais 25 ne divise pas 10)
     

  11. evariste_galois

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Localisation
    Lyon
    Âge
    32
    Messages
    582

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Citation Envoyé par Sarameen
    Parce que ca, ca ne marche que si p est premier, mais je n'ai jamais réussis à l'écrire de facon rigoureuse.

    (25 divise 102 mais 25 ne divise pas 10)

    A titre indicatif, je donne la démonstration lorsque d n'est pas un carré parfait et n=2

    Soit d un entier naturel qui n'est pas un carré parfait. Montrons que d^1/2 est irrationnel.

    Raisonnons par l'absurde. En effet, supposons que d^1/2 soit rationnel. Il existe a et b entiers naturels premiers entre eux tels que d^1/2=a/b, c'est-à-dire b²d=a².

    On considère alors la décomposition de d en élèments premiers. Vu que d n'est pas un carré parfait, il existe un nombre premier p et deux entiers c et q tels que d=c*p^(2q+1) avec p ne divisant pas c.
    Vu que d divise a², p^(2q+1) divise a², donc p^(q+1) divise a, i.e il existe e tel que a=e*p^(q+1).

    D'où, b²*c*p^(2q+1)=e²*p^(2q+2), i.e b²*c=p*e².
    Donc, p divise b²*c mais ne divise pas c, donc p divise b², ou encore p divise b. Or, on a supposé a et b premiers entre eux, d'où la contradiction.
    Dernière modification par evariste_galois ; 17/08/2005 à 18h12.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."
     

  12. evariste_galois

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Localisation
    Lyon
    Âge
    32
    Messages
    582

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Citation Envoyé par Sarameen
    Parce que ca, ca ne marche que si p est premier, mais je n'ai jamais réussis à l'écrire de facon rigoureuse.

    (25 divise 102 mais 25 ne divise pas 10)
    Soit p premier.
    Supposons que p divise a^n et p ne divise pas a.

    On a bien évidemment p et a premiers entre eux vu que p est premier et ne divise pas a.
    Or, si p divise bc et p est premier avec c, alors p divise b.

    On pose c=a, et b=a^(n-1), et alors p divise a*a^(n-1) mais p premier avec a donc p divise a^(n-1).

    Par une petite récurrence, on arrive a p divise a, ce qui contredit les hypothèses de départ.

    Donc si p divise a^n, p premier, alors p divise a.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."
     

  13. MB_MathemateX

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Val de Marne
    Messages
    3

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Une preuve naturelle et assez simple est détaillée ici, pour ceux que ça intéresse.
    MB - MathemateX
     


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