Transformation géométrique représentée par une matrice

[Lalila]

Bonjour!
J'ai ici un exercice sur lequel je bloque dès le début. On me demande de trouver la nature de la transformation géométrique représentée par sur la base canonique de R³ par la matrice :

1 1-racine de3 1+racine de3
1+racine de3 1 1-racine de3
1-racine de3 1+racine de3 1

(je suis désolée je ne sais pas comment écrire les matrices sur le forum.)

Donc, je commence par le point de départ, c'est à dire essayer de prouver qu'elle est orthogonale. Mais elle ne l'est pas ! Ses vecteurs colonnes ne forment pas une base orthonormée. Ca ne marche pas non plus en effectuant le produit de cette matrice par cette transposée : je ne trouve pas Id mais 9 Id.

Est ce une erreur dans l'énoncé ?

Merci !

[girdav]

Bonjour,
je réécris la matrice en question
.
En effet, donc en considérant on a que est orthogonale.
Les transformations associées ne diffèrent que par la composition par une homothétie.

[Lalila]

Merci bien !

[Plums]

( je suppose que c'est une erreur : il faut considérer , et non ;) )

[Plums]

Oups je n'ai rien dit, c'est bien !

[Lalila]

C'est encore moi, j'ai un problème ...!
En résolvant Ker (M - Id) = 0, j'arrive à ce système :
-2x + (1-)y + (1+)z = 0 (1)
(1+)x - 2y + (1-)z = 0 (2)
(1-)x + (1+)y -2z = 0 (3)

En faisant (2) + (3) j'en déduis z=0 en comparant avec (-1).
Mais ensuite j'obtiens également y=0 et z=0...

[DarK MaLaK]

Tu es sûre que ce ne sont pas des zéros dans la diagonale ?

[Lalila]

Tu es sûre que ce ne sont pas des zéros dans la diagonale ?

non non !
mais j'ai trouvé, j'ai fait une bête erreur de signe...
en réalité c'est très simple, en résolvant le système on obtient Ker (M-Id) = vect(1,1,1).

(je me suis trompée dans mon précédent post, je n'ai évidemment pas résolu Ker(M-Id) =0 mais (M-Id)(x,y,z) = 0 !)