Opérateur de Hodge (question TRES facile !)

julien_4230 · 21/08/2010 - 18h10

Bonjour.

Appellons * l'opérateur de Hodge. Je débute réellement dans l'histoire !

Je ne comprends franchement pas pourquoi :

$*(dx \wedge dt) = dy \wedge dz$

J'applique la définitions donnée par mon livre :

$*(dx \wedge dt) = \frac{1}{2}( \epsilon _{1023} dy \wedge dz +\epsilon _{1032} dz \wedge dy)$

Or, par convention : $\epsilon _{0123} = 1$ , et l'on associe t à 0, x à 1, y à 2 et z à 3.

Donc, chez moi : $\epsilon _{1023} = -1$ , ou alors je n'ai rien compris à l'histoire !!!! En fait, c'est ce tenseur de Levi-Civita qui me dérange pas mal...

Merci bien de m'aider.

Sincèrement,

julien_4230 · 21/08/2010 - 18h24

Bon sang, "nombre pair de permutation" signifie "nombre pair de transposition" pour cette permutation, donnant alors la valeur adéquate de la signature, n'est-ce pas ? C'est faux de dire "nombre pair de permutation" alors, non ?

Ca n'aide pas trop...

Magnétar · 21/08/2010 - 19h15

Bonjour,

On peut savoir où est-ce que tu as vu ça ? A vue de nez je dirais le W. Appel, mais je veux être sur avant de répondre n'importe quoi...

Edit : non en fait ce sera n'importe que ce soit W.Appel ou non...

julien_4230 · 21/08/2010 - 19h50

Bonjour, oui c'est bien W. Appel.
En quoi cela peut-il vous aider ?

Magnétar · 21/08/2010 - 20h57

Alors bon je te donne des liens qui sont surement l'explication du signe - entre F et *F dans le W.Appel. Pour résumer c'est ce que je pensais au premier abord : faire gaffe à la métrique.
Les liens (cours de Robert Coquereaux de géo diff, pour physicien donc pour les matheux qui passe dans le coin prendre un peu de Valium avant de lire

) :

voir en premier lieu ici : http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/node222.html en particulier "L'isomorphisme *: La dualité de Hodge"
puis pour l'élément de volume $\epsilon$ voir là :http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/bo...secformevolume plus précisément l'avant dernier paragraphe : "Lorsque la signature de la métrique n'est pas proprement riemannienne...".

Globalement l'excellent cours de R. Coquereaux : http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/bo...ceforhtml.html

Voilà have fun...

julien_4230 · 21/08/2010 - 21h23

OUaaah c'est super ! Je suis heureux d'avoir enfin un truc cerné à étudier ! J'apprécie d'avantage le dernier lien

Maintenant, est-ce que vous avez des exercices à me proposer (de math, ou bien appliqués en théorie (quantique) des champs) ? Ca m'intéresserait, mais GRAVE !!!!!!!!

Je vous remercie infiniement !!!

julien_4230 · 21/08/2010 - 22h14

Envoyé par Magnétar

cours de Robert Coquereaux de géo diff, pour physicien donc pour les matheux qui passe dans le coin prendre un peu de Valium avant de lire

Ce serait plutôt aux physiciens comme nous, pauvres de nous, qui devrions prendre un Valium ! Eux, ils sont habitués !!

(je plaisante, car en effet peut-être nous autant qu'eux)

julien_4230 · 22/08/2010 - 09h17

Euh excusez moi.

Avec la métrique donnant : $\epsilon _{0123}=-1$ , pourquoi :
$\epsilon _{3120}=-1$ ???!!! Chez moi, ceci fait 1, car il y a en effet 5 permutations par inversion (donc permutation impaire), ce qui devrait donner +1 avec la telle métrique ! Dans le Walter Appel, je suis d'accord avec tous les termes de *F, sauf celui correspondant à $dz\wedge dx$ , puisque : $*(dz\wedge dx)=dy\wedge dt$ avec la métrique, et non $*(dz\wedge dx)=-dy\wedge dt$ ...

Merci de votre aide !

julien_4230 · 23/08/2010 - 11h22

Je déduirais de vos non réponses que le signe moins ne doit pas être présent, donc qu'il s'agit effectivement d'une erreur du Walter Appel ?

Magnétar · 23/08/2010 - 16h15

Je déduirais de vos non réponses que le signe moins ne doit pas être présent, donc qu'il s'agit effectivement d'une erreur du Walter Appel ?

Je dirais plutôt que tu peux en déduire que j'ai de petits problèmes de connexion internet

Après j'avais faits les calculs en détails samedi et la métrique justifiait bien le signe -. Mais bon j'ai pu me planter. Cependant je remarquerais que quoiqu'il arrive on peut considérer les deux 2-formes (que ce soit avec ou sans signe moins, ce n'est qu'une question de convention, en particulier dans le cours de R.Coquereaux la convention est exactement l'opposée du W. Appel) pour construire les équations de maxwell avec les courants. Après ce qui m'étonne c'est que ton problème de signe moins n'apparaît que pour $*(dz \wedge dx)$ alors que quand je fais le calcul (peut-être un peu trop rapidement cependant) le signe moins est bien présent partout. Enfin bref je ne pense pas qu'il y ait d'erreur dans le W.Appel, mais bon encore une fois je peux me planter...

PS : Etant donné que je suis quasi certain qu'on se connaît tu peux me tutoyer.

julien_4230 · 05/09/2010 - 18h16

Bonjour. C'est hallucinant comment cette chose me pose toujours problème ! Le tenseur de Lévi Civita est mon point faible !

Je suis désolé, mais avec la métrique $\epsilon _{0123} = 1$ , je ne vois pas pourquoi on n'a pas :
$*dx\wedge dy = \epsilon _{1203}dt\wedge dz = + dt\wedge dz$ ...

Je suis désolé mais je vois deux permutations par inversion dans $\epsilon _{1203}$ ...

Merci de me donner un coup de main...