Nombres premiers et médaille fields

Gabriel · 25/08/2010 - 17h23

Bonjour.
2 mathématiciens français viennent de recevoir la médaille fields 2010 : Cédric VILLANI et Ngô BAU CHAU.

En particulier, Cédric VILLANI a travaillé sur l'équation de boltzmann quantique, ce qui nous mène tout droit aux nombres premiers.

En effet, les dernières recherches concernant la répartition des zéros non triviaux de la fonction dzéta de riemann (voir : http://www.dms.umontreal.ca~andrew/PDF/quantique.pdf
ou bien voir article "Le reemanium" revue La Recherche)
montrent que ces zéros sont distribués comme les niveaux d'énergie d'un chaos quantique.
Les zéros de la fonction dzéta ne sont pas répartis au hasard !

Et pourtant les nombres premiers semblent répartis au hasard parmi les nombres premiers.
Le nombre de Nombres Premiers inférieurs ou égal à x, soit Pi(x) , est approximativement égal à Li(x), avec des fluctuations autour de Li(x) qui augmentent quand x augmente.
Un peu comme les mouvements désordonnés des atomes d'un gaz parfait, qui augmentent avec la température.

Qu'en pensez-vous ?

Toufou · 25/08/2010 - 18h36

Bonjour,

Mon niveau n’est pas assez élevé en math et en physique pour tout saisir, mais cela me fait penser au parallèle existant entre la théorie du potentiel (fonctions harmoniques) et le mouvement Brownien (chaîne de Markov). S’agit-il en quelque sorte d’un approfondissement, d’une évolution de cette « coïncidence » entre processus aléatoire et équilibre thermique ? Ou bien cela n'a rien à voir du tout ?
Cdt.

Gabriel · 26/08/2010 - 17h20

Merci "Toufou" pour ta réponse.
Il ya un article dans la revue "Sciences et Vie" de Septembre 2010, qui parle d'une nouvelle théorie de la gravitation, inventée par un physicien néerlandais, dans laquelle, la gravitation se déduit de l'information stockée sur la surface de l'univers.

Cet article correspond tout à fait à ce que tu écris.

Armen92 · 30/08/2010 - 23h49

Envoyé par Gabriel

Bonjour.

0) Les zéros de la fonction dzéta ne sont pas répartis au hasard !
1) Et pourtant les nombres premiers semblent répartis au hasard parmi les nombres premiers.
2) Le nombre de Nombres Premiers inférieurs ou égal à x, soit Pi(x) , est approximativement égal à Li(x), avec des fluctuations autour de Li(x) qui augmentent quand x augmente.
Un peu comme les mouvements désordonnés des atomes d'un gaz parfait, qui augmentent avec la température.

Qu'en pensez-vous ?

0) Affirmation dont il conviendrait de préciser le sens (qu'entend-on par "au hasard" ?) ; cela fait, on pourrait essayer de voir si elle est vraie ou fausse.
1) Idem.
2) A ma connaissance, l'écart entre $\pi(x)$ et ${\rm Li}(x)$ est d'un signe constant. Il ne s'agit donc pas de "fluctuations" (?) autour...
Quel rapport avec la température et les "mouvements" des atomes ?!

Pour en savoir plus sur les nombres premiers, voir Marcus Du Sautoy "La symphonie des nombres premiers", superbe livre écrit par un expert, qui sait de quoi il parle.
Plus technique : on est toujours à la recherche d'un opérateur hermitien dont les valeurs propres seraient les ${\rm i}(R_k-\frac{1}{2})$ ...

telchar · 31/08/2010 - 06h57

Bonjour,

pi(x)-Li(x) change de signe une infinité de fois (résultat de Littlewood, 1914).

Toutefois le premier changement de signe a lieu pour x assez grand, au début on a pi(x)<Li(x).

Armen92 · 31/08/2010 - 14h27

Envoyé par telchar

Bonjour,

pi(x)-Li(x) change de signe une infinité de fois (résultat de Littlewood, 1914).

Toutefois le premier changement de signe a lieu pour x assez grand, au début on a pi(x)<Li(x).

Bonjour,

Merci pour cette précision. Auriez-vous une référence récente où ce résultat est repris, commenté, etc. ?

Merci d'avance

Toufou · 31/08/2010 - 16h19

Bonjour,

Dans ce PDF http://www.fil.univ-lille1.fr/~lasou...mulesNbPre.pdf (dans l'encadré 2ème page à droite) il est précisé que le premier changement de signe de pi(x)-Li(x) ne se présenterait pas avant x=10^371!!
Cdt.