Exo : Applications R-linéaires de C dans C

[Compol]

Salut,
Mon prof de sup nous a donné pas mal de petits exos (notamment sur les complexes) pour bien commencer l'année. Voici la définition qu'on donne à une application R-lineaire de C dans C:
Une application h de C dans C est R-linéaire, si et seulement si elle vérifie les 2 propriétés suivantes:

(1) quelque soit z, z' de C , h(z+z')=h(z)+h(z')
(2) quelque soit z de C , et t de R : h(t.z)=t.h(z)

Questions: 1) Prouver que les applications R-linéaires de C dans C sont celles du type: z->az+bz (z est le conjugué de z)
2) Parmi celles-ci, quelles sont celles qui conservent le module?

J'ai beaucoup de mal pour la première question. En effet, il est facile de vérifier que z->az+bz est R-linéaire. Cependant, la réciproque (toute application R-linéaire est de la forme z->az+bz) est beaucoup plus compliquée à prouver...
Après de longues réflexions, je trouve quelques résultats, comme:
h(0)+h(0)=h(0) , donc h(0)=0
De plus, h(z)+h(-z)=h(0)=0, donc cette application est "impaire" (mais je ne sais pas si ca se dit dans C)... Bref, apres je ne vois vraiment pas comment aboutir à la forme demandée.

Toute aide serait très appréciée. Merci d'avance.
pol

[Seirios]

Bonjour,

Tu peux essayer de prendre le problème à l'envers : tu cherches a et b tels que (en posant ). Tu peux donc déterminer a et b en résolvant le système (x et y étant indépendants).
Ce n'est pas forcément la meilleure façon de résoudre l'exercice, mais je trouve et .

[invite986312212]

on peut d'abord remarquer que l'ensemble des applications R-linéaires de C dans C est un R-espace vectoriel de dimension 4. Il suffit d'exhiber 4 applications linéairement indépendantes et faisant apparaître z et $\bar z$ (et $i$) ... ce n'est pas trop difficile.

[Compol]

on peut d'abord remarquer que l'ensemble des applications R-linéaires de C dans C est un R-espace vectoriel de dimension 4. Il suffit d'exhiber 4 applications linéairement indépendantes et faisant apparaître z et $\bar z$ (et $i$) ... ce n'est pas trop difficile.

Le problème c'est que nous n'avons pas encore abordé le chapitre d'algèbre linéaire, le prof nous a donné cet exo dans le chapitre des complexes. Donc je ne sais pas ce que signifie "espace vectoriel"...
Cependant, merci pour vos réponses.

[invite986312212]

Donc je ne sais pas ce que signifie "espace vectoriel"...

on voit pas ça en seconde ou en première?

c'est bizarre d'introduire les applications linéaires avant les espaces vectoriels... et les nombres complexes la première semaine de cours. De mon temps en arrivant en prépa du passé on faisait table rase et on attaquait par la logique, puis les ensembles, etc et les espaces vectoriels arrivaient à la fin du trimestre.

enfin, pour en revenir à la question, si malgré tout tu as quelques souvenirs de ce qu'est un espace vectoriel et une base, tu peux essayer de montrer (c'est facile) que C est un R-espace vectoriel de dimension 2, que l'ensemble des applications R-linéaires de C dans C est un e.v. de dimension 4, qu'il possède donc une base formée de 4 éléments, que les applications , , et forment une famille libre, et donc une base puisqu'il y en a 4, et donc une famille génératrice, ce qui montre que toute application R-linéaire s'écrit de la façon indiquée.

[Compol]

on voit pas ça en seconde ou en première?

C'était le cas en 1970... Je suis désolé que le niveau des programmes recule d'année en année, mais je n'y peu rien...
Je n'ai pas très bien saisi l'idée de Phys2
Merci pour votre compréhension.

[indian58]

C'était le cas en 1970... Je suis désolé que le niveau des programmes recule d'année en année, mais je n'y peu rien...
Je n'ai pas très bien saisi l'idée de Phys2
Merci pour votre compréhension.

C'était aussi le cas il y a moins de 10 ans.

Phys2 fait un gros présupposé, à savoir que toutes les fonctions h R-linéaires sont de la forme h(z)=az+bz*.

[Seirios]

Je n'ai pas très bien saisi l'idée de Phys2

Comme on te donne le résultat, tu peux partir de là (ce qui n'est pas très élégant, mais tu pourras éventuellement reformuler ton raisonnement une fois la solution trouvée).

Soit . Alors en partant du résultat, tu sais que tu dois trouver a et b tels que . Or (par linéarité) ; donc tu as , d'où tu déduis le système (x et y étant indépendants) : . Tu peux donc déterminer a et b.

[Seirios]

Phys2 fait un gros présupposé, à savoir que toutes les fonctions h R-linéaires sont de la forme h(z)=az+bz*.

Pas tout à fait ; il s'agit de montrer l'existence de a et b tels que toute application linéaire s'écrive ainsi.

[indian58]

Pas tout à fait ; il s'agit de montrer l'existence de a et b tels que toute application linéaire s'écrive ainsi.

Pas vraiment non. Tu dis : cherchons a et b tels que h = az+bz*. Mais qui te prouve que toutes les fonctions R-linéaires sont de cette forme?

[SchliesseB]

Justement: par analyse synthèse (et c'est la méthode de Phys2):

Analyse:
Supposons que
alors.... et .

Maintenant:
soit h une application -linéaire de dans .

alors je pose et



CQFD

[Seirios]

Pas vraiment non. Tu dis : cherchons a et b tels que h = az+bz*. Mais qui te prouve que toutes les fonctions R-linéaires sont de cette forme?

Parce que quelque soit h, on trouve une solution. Je ne vois pas où est le problème : on se fixe h, puis on essaie de trouver a et b de telle sorte que l'égalité soit vérifiée ; elle l'est sans restriction sur h, donc on généralise le résultat.

EDIT : Grillé...

[indian58]

Justement: par analyse synthèse (et c'est la méthode de Phys2):

Analyse:
Supposons que
alors.... et .

Maintenant:
soit h une application -linéaire de dans .

alors je pose et



CQFD

Et bien on est tous d'accord. Je savais très bien pourquoi Phys2 faisait ça et qu'il avait au final raison. Mais c'est pourquoi j'ai dit qu'il sautait des étapes. Il est allé "un peu" vite dans son raisonnement en ne le terminant pas.

[Compol]

Justement: par analyse synthèse (et c'est la méthode de Phys2):

Analyse:
Supposons que
alors.... et .

Maintenant:
soit h une application -linéaire de dans .

alors je pose et



CQFD

Merci beaucoup Phys2 et SchliesseB, la méthode d'analyse synthèse me paraît vraiment puissante pour résoudre ce type de problème.

[indian58]

Merci beaucoup Phys2 et SchliesseB, la méthode d'analyse synthèse me paraît vraiment puissante pour résoudre ce type de problème.

Oui à CONDITION que de bien faire les deux (dans le post de phys2, il n'a fait que l'analyse). Alors fais bien attention.