Théorème qui prouve l'égalitée par la dérivée?

[El roux]

Bonjour, je me demandais s'il existe un théorème, et si oui, son nom pour prouver les propriétés des ln,logs.
Si j'arrive à prouver que des deux côtées de l'égalité les dérivées sont égales, existe-il des conditions pour aller plus loins et affirmer l'égalitée?

Sinon, est-ce que la dérivée de a^x est prouvable à l'aide de la définition de la dérivée?

[mathieu.zaradzki]

si deux fonctions ont des derivees identiques alors ces deux fonctions ne different que par une constante;
f'=g' implique f(x)=g(x)+c

[El roux]

Ha oui, sa fait du sens pour la dérivée!

Cependant, je m'interrogais sur cela car je voulais prouver que ln(a^x) = x*ln(a).

Là, j'arrive dans une genre de boucle...Ce que j'ai prouvé à l'aide de la propriété du ln précédente, soit la dérivée de a^x = a^x*ln(a), je l'ai fait à l'aide de la propriété du ln citée précédamment.
Pour prouver cette propriété, j'ai utilisé ma preuve du a^x = a^x*ln(a)...

Je suis dans une genre de boucle de preuve, une preuve prouve l'autre, et vice-versa...
C'est comme si je disais propriété a est vrai à cause de propriété b, qui elle est vrai à cause de propriété a.

Aidez-moi à m'en sortir svp!!

Ce que j'ai fait (en ommitant le bout de la constante qui faisait l'objet de mon premier post) :

Preuve 1




Preuve 2

[invite986312212]

Cependant, je m'interrogais sur cela car je voulais prouver que ln(a^x) = x*ln(a).

et si tu prenais l'exponentielle des deux membres? Ca suppose de savoir que la fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithme, est-ce bien comme ça que tu définis le logarithme?

[Ksilver]

le problème c'est que cette propriété ( ln(a^x) = x*ln(a)) est un théorème pour x rationel et une définition pour x quelconque...

je m'explique : tu sais définir a^n pour tout entier n, ensuite tu sais définir a^(1/n) (les racines n-ieme) pour tout entier n, en combinant les deux tu peux définir a^(p/q).

mais pour définir quelque chose comme a^(pi) là on passe par le logarithme et l'exponentielle :

la définition étant a^pi = exp(pi.ln(a))
et le théorème c'est que cette définition coïncident avec la précédente quand x est rationnelle...

mais du coup ca te pose un problème, parceque tu ne peux démontrer cette formule que pour x rationel... et donc ca n'as aucun sens d'essayer de dériver par rapport à x.

l'astuce pour utiliser ta methode (dériver pour prouver les relation) serait de dériver par rapport à a plutot que x (et la dérivé de a^x tu la connait : c'est x.a^(x-1) )

[El roux]

'Fectivement, je ne m'étais jamais interrogé sur la définition d'un exposant irrationnel.

Sinon, si sa se démontre pour un nombre irrationel, defacto cela est vrai pour n'importe quel entier non? (je sens que je dis une connerie...)

Sinon mon but dans cet exercice était simplement de retrouver par moi-même les formules des dérivées, sans avoir à les retenir par coeur. D'où le fait que dériver par rapport à "a" ne m'apporterais pas grand chose...

Sinon, d'où vient-elle cette propriété des log/ln de pouvoir descendre la puissance (ex: ln(a^x) = x ln(a) )

[mathieu.zaradzki]

je m'explique : tu sais définir a^n pour tout entier n, ensuite tu sais définir a^(1/n) (les racines n-ieme) pour tout entier n, en combinant les deux tu peux définir a^(p/q).

Aussi, cette definition est coherente avec la limite obtenue pour une suite xn dans Q convergente vers une reel x (cf densite de Q dans R): la suite a^xn est egale a exp(xn.ln(a)) puisque xn apparetient a Q et exp(xn.ln(a)) converge lorsque xn converge, il est donc naturel de definir cette limite comme etant aussi a^x.