Applications surjective, bijective

[Eleya]

Bonjour !

Je bloque sur un exercice traitant des applications.
Voici l'énoncé :

Soient E, A, B des ensembles fixés avec E non vide, A et B sous-ensembles de E.
On considère l'application
f : P(E) -> P(E)*P(E)
X -> (A U X, B U X) (U = "union")

1) Montrer que f n'est pas surjective (considérer (Ø,Ø) appartient à P(E)*P(E) ).
2) Monter que la condition A inter B = Ø est une condition nécessaire pour que f soit injective (considérer f(A ⋂ B) et f(Ø)).
3) Montrer que cette condition est aussi suffisante pour que f soit injective.
[Rappel : lorsque l'implication A => B est vraie, B est une condition nécessaire de A et A est une condition suffisante de B ].

J'ai essayé plusieurs choses mais rien de bien concluant a priori.

1) (Je suppose qu'il faut raisonner par l'absurde ou trouver un contre-exemple).
On suppose une application surjective f' : P(E) -> P(E)*P(E).
On considère (Ø,Ø) ∈ (P(E)*P(E)). Il faut trouver X tel que (A U X, B U X) = (Ø,Ø). Un tel X n'existe pas.
On en conclut que f=f' n'est pas surjective.

2) A montrer : f injective => A ⋂ B = Ø.
On suppose f injective donc pour tout X, X' ∈ P(E), X=X' => f(X)≠f(X').
On considère f(Ø)=(A,B)

3) A montrer : A ⋂ B = Ø => f injective.

On suppose A ⋂ B = Ø.
f(Ø) = (A,B)
f(A ⋂ B) = (A U (A ⋂ B), B U (A ⋂ B)) = ((A U A) ⋂ (A U B), (B U A) ⋂ (B U B)) ...

Merci d'avance pour toute aide

[ghaly91]

salut!
sans tarder jte propose mon aide:
1- c correcte ske ta fait mais essaie de mieux rédiger ta réponse
2- tu supposes que f soit injective
on a bien f(A ⋂ B)=f(Ø) (simple calcul)
=> A ⋂ B=Ø ( car f inj )
3-manent tu supposes que A ⋂ B=Ø
soit (X,Y)∈P(E)*P(E) tq
f(X)=f(Y) => X U A=Y U A et X U B= Y U b
=> (AUX)⋂(BUX)=(AUY)⋂(BUY)
tu développes (fais-le )et tu trouves X=Y vlà
j'espère ke j'ai pu taider
bonne fin d'après-midi !

[Eleya]

Un grand merci pour ta réponse, rapide en effet J'ai bien compris pour la 2 et la 3.
Encore merci, grâce à toi je vais passer une meilleure soirée même si ce n'est pas pour demain
Bonne soirée !

[ghaly91]

Pas2koi reviens qd tu veux