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une base de R[X] ??

  1. lorenzorro

    Date d'inscription
    février 2005
    Messages
    6

    une base de R[X] ??

    soit T0 (X)=1, T1 (X)=X et en suite Tn+1 (X)=2XTn (X)-Tn-1 (X).

    Pouver que la famille (T0,T1....Tn) est une base de R[X].Voila l'ultime question du DM que j'ai à rendre pour la rentrée.

    Il faut montrer qu'elle est libre et génératrice mais je ne sais vraiment comment m'y prendre.

    Merci d'avance.


     


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  2. evariste_galois

    Date d'inscription
    novembre 2004
    Localisation
    Lyon
    Âge
    29
    Messages
    582

    Re : une base de R[X] ??

    Je suis pas très doué par rapport à ce genre d'exercice, mais ne peut-on pas prouver que pour tout entier naturel n et m distincts, deg(Tn) différent de deg(Tm), et que de plus pour tout entier naturel p, il existe n tel que deg(Tn)=p ?
    C'est juste une idée que je soumet, je ne sais pas si ça peut mener au bon résultat.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."
     

  3. indian58

    Date d'inscription
    juin 2005
    Âge
    28
    Messages
    1 932

    Re : une base de R[X] ??

    On dirait les polynômes de Tchebychev!
    Tu prouves par récurrence que deg(Tn)=n et c'est fini!
     

  4. Gwyddon

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Karlsruhe (Allemagne)
    Âge
    29
    Messages
    18 716

    Re : une base de R[X] ??

    Idée excellente, après un petit coup de théorème de la base aux degrés étagés et c'est bon

    Maintenant, question annexe : démontrez le théorème de la base aux degrés étagés.

    Enoncé

    Soit *famille libre de vérifiant :

    (i) Pour tout entier n différent de m,

    (ii) Pour tout entier n, il existe i entier naturel tel que

    Alors est une base de


    A vos claviers !

    J.oker ?
    gg --> H --> gamma gamma => Nobel !
     

  5. GuYem

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Poitiers
    Âge
    33
    Messages
    2 132

    Re : une base de R[X] ??

    Indian a raison.
    D'une manière générale si tu prends une famille de polynome qui ont tous des degrés distincts qui recouvrent N entièrement alors c'est une base de R[X].
    Ce n'est pas trés dur à prouver à cause justement des degrés.
    Dans ton exemple, c'est clairement le cas.

    EDIT : grillé :/
    Dernière modification par GuYem ; 28/08/2005 à 22h30.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
     


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  6. lorenzorro

    Date d'inscription
    février 2005
    Messages
    6

    Re : une base de R[X] ??

    en quoi demontrer de c'est de degre n demontre que c'est une base??
     

  7. lorenzorro

    Date d'inscription
    février 2005
    Messages
    6

    Re : une base de R[X] ??

    le probleme c'est que j'ai jamais vu ce theoreme en sup....
     

  8. Gwyddon

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Karlsruhe (Allemagne)
    Âge
    29
    Messages
    18 716

    Re : une base de R[X] ??

    Dites c'est carrément un carambolage ici

    Je crois, lorenzorro, que tu as tous les éléments de réponse dans ce post
    gg --> H --> gamma gamma => Nobel !
     

  9. lorenzorro

    Date d'inscription
    février 2005
    Messages
    6

    Re : une base de R[X] ??

    Tres bien je vous remercie.Ce fut rapide en tout cas !!
     

  10. indian58

    Date d'inscription
    juin 2005
    Âge
    28
    Messages
    1 932

    Re : une base de R[X] ??

    Citation Envoyé par lorenzorro
    le probleme c'est que j'ai jamais vu ce theoreme en sup....
    Ha bon? Pour démontrer ce théorème, tu démontres d'une part que les polynômes en questions sont libres (tu procèdes par contraposée) et qu'ils sont générateurs ( c'est encore plus simple: (,...,) est une base de [X] ).
    Dernière modification par indian58 ; 29/08/2005 à 07h17.
     

  11. Quinto

    Date d'inscription
    septembre 2003
    Localisation
    Québec
    Âge
    31
    Messages
    1 796

    Re : une base de R[X] ??

    Bonjour,
    ici le mot base signifie base d'un ev de dimension infinie, car je ne pense pas que R[X] soit de dimension finie et donc si on s'arrete au n-ieme polynome on aura un probleme.
    Notamment avant de parler de base d'un ev de dimension infinie, il faudrait savoir si ca a un sens....
    En fait ca en a toujours un.
    Il faut montrer que la famille est libre et generatrice.
    Generatrice c'est constructif.
    Libre c'est montrer que toute sous famille finie l'est.
    A+
     


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