PACES : Biostatistique

[Arkhange]

Bonjour, aujourd'hui j'ai essayer de faire un QCM de paces en voici l'ennoncé :

On s'intéresse à la conformité des poches de sang utilisées dans un hôpital. On appelle p la probabilité pour une poche d'être non-conforme. Cette probabilité est supposée faible. On contrôle la conformité d'un nombre n de poches, assez grand (au moins 100).

1. La probabilité de n'avoir aucune poche non-conforme parmi les n est 1-p
2. La probabilité de n'avoir aucune poche non-conforme parmi les n est pⁿ
3. La probabilité de n'avoir aucune poche non-conforme parmi les n est (1 - p)ⁿ
4. En faisant l'approximation par la loi de Poisson, la probabilité de n'avoir aucune poche non-conforme parmi les n est e^-p
5. En faisant l'approximation par la loi de Poisson, la probabilité de n'avoir aucune poche non-conforme parmi les n est e^-np

Ils mettent que les réponses sont la 3 et 5 et je ne comprend pas pourquoi :/

Enfin pour la 3 si, j'ai le raisonnement suivant :
Soit p la probabilité de poche non conforme
On a donc l'evenement contraire = 1- p
On réalise l'experience n fois soit (1-p)ⁿ

Par contre pour la 5 je ne suis pas d'accord, voici mon raisonnement :
On sait d'après la loi de poisson que P(X=k) = e^-p*p^k/k!

Donc si je remplace j'arrive a :
P(X=0) = e^-p*p⁰/0!
P(X=0) = e^-p*1 = e^-p soit la réponse 4 :/

Merci d'avance pour vos explications que je l'espère comprendrait ^^

[invite986312212]

bonjour,
c'est bien la réponse 5 qui est la bonne.
Tu as deux façons de voir cela:
- soit tu pars de l'expression (1-p)^n et tu montres, par un développement limité qu'elle est bien approchée par exp(-np)
- soit tu utilises le résultat sur l'approximation poissonienne de la loi binomiale (qui se démontre d'ailleurs un peu de la même façon). Le résultat est le suivant: si n tend vers l'infini, si p tend vers 0 et si le produit np tend vers lambda, la suite des lois binomiales de paramètres n et p tend vers la loi de Poisson de paramètre lambda. Donc ici c'est le produit np qu'il faut prendre comme paramètre et c'est bien exp(-np) la valeur en 0 de la loi de Poisson.

[Arkhange]

Ah oui en effet ! En fait c'est que je fais des exercices au fur et a mesure de mon avancée dans mon cours et cette explication était tout a la fin ! ;D
Merci beaucoup ! Et désolé du derrangement ! =)