Somme de termes consécutifs

[pilou67]

Salut tt le monde! j'aimerai savoir la démonstation de la formule

1+2+...+n=n(n+1)/2

sa serai vraiment cool que quelqu'un me reponde ^^ merci d'avance

[evariste_galois]

Salut tt le monde! j'aimerai savoir la démonstation de la formule

1+2+...+n=n(n+1)/2

sa serai vraiment cool que quelqu'un me reponde ^^ merci d'avance

Je ne vois pas trop le rapport avec le sujet initial, mais c'est pas grave .

Une petite idée intuitive qui va te mettre sur la voie:

Ecrivons la somme deux fois, une fois dans l'ordre croissant, et juste en dessous dans l'ordre décroissant:
1 n
+ +
2 n-1
+ +
... ...
+ +
n-1 2
+ +
n 1
La somme de chaque paire horizontale vaut n+1, et il y a n paire horizontale. La somme des nombres de ces deux colonnes vaut donc n(n+1).
Or, cette somme est égale au double de la somme des nombres de chaque colonne puisque les deux colonnes contiennent exactement les mêmes nombres.
Ainsi, la somme des nombres d'une des deux colonnes vaut n(n+1)/2, et c'est la résultat recherché.

[evariste_galois]

J'ai eu quelques problèmes dans l'espacement de mes colonnes, je les réécris:

1________n
+________+
2________n-1
+________+
..._______...
+________+
n-1______2
+________+
n________1

[pilou67]

merci merci c'est la demonstration complete ou juste un appercu ??? si non j'aurai besoin de la complete c'est hyper important merci !!! trop genial se site vraiment des gens sympa ! xD

[evariste_galois]

merci merci c'est la demonstration complete ou juste un appercu ??? si non j'aurai besoin de la complete c'est hyper important merci !!! trop genial se site vraiment des gens sympa ! xD

Non, ce n'était qu'une idée, proposée par Carl Friedrich Gauss alors qu'il n'est encore qu'à l'école primaire !!

Une petite récurrence devrait suffir.

Pour n=1, on a n(n+1)/2=1*2/2=1, le résultat est donc valable pour n=1.
Supposons le résultat vérifié pour un entier naturel n. On a alors:
1+2+...+n+(n+1)=n*(n+1)/2 + (n+1)= n*(n+1)/2 + 2*(n+1)/2=( n*(n+1)/2 + 2*(n+1) )/2=(n+1)*(n+2)/2 .
A toi de conclure.

[pilou67]

merci, c'est parfait super gentil je reviendrai sur se site quand j'aurai un probleme c'est vraiment cool ^^