Normes égales
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Normes égales



  1. #1
    mimo13

    Normes égales


    ------

    Salut,

    Je désire montrer que les deux normes suivantes sur sont égales:

    .

    .

    Par Cauchy-Schwartz, il est clair que:


    Et donc .

    Mais, je bloque ici.

    J'ai aussi remarqué une chose, si on considère la droite d'équation , la norme représente la distance d'un point à cette droite, cette distance naturellement est inférieur à la distance de ce point à l'origine (qui n'est autre que la norme ).

    Si vous avez des pistes, je suis preneur.

    Merci

    Cordialement
    Mimo

    -----

  2. #2
    inviteea2fb8cf

    Re : Normes égales

    Bonjour,

    Citation Envoyé par mimo13 Voir le message
    J'ai aussi remarqué une chose, si on considère la droite d'équation , la norme représente la distance d'un point à cette droite, cette distance naturellement est inférieur à la distance de ce point à l'origine (qui n'est autre que la norme ).
    C'est une très bonne remarque, quoique très mal formulée.

    La quantité est bien égale à la distance entre le point de coordonnées et la droite d'équation . Cependant, ceci n'est pas égal à la norme du point : n'oublie pas que l'on prend le supremum sur tout !

    De fait, est la plus grande distance entre le point et une droite passant par l'origine (sauf la droite d'équation , mais on peut approcher celle-ci en prenant des paramètres de plus en plus grands). Ma proposition de preuve est donc la suivante :
    * Supposons que est non nul. Peut-on trouver un paramètre tel que ? Indice : la distance entre le point et la droite doit être de , c'est-à-dire que l'origine doit être le point de la droite le plus proche de , ou encore que le projeté orthogonal de sur est l'origine.
    * Traiter le cas à part.

  3. #3
    mimo13

    Re : Normes égales

    Citation Envoyé par Garf* Voir le message
    * Supposons que est non nul. Peut-on trouver un paramètre tel que ? Indice : la distance entre le point et la droite doit être de , c'est-à-dire que l'origine doit être le point de la droite le plus proche de , ou encore que le projeté orthogonal de sur est l'origine.
    Prendre .
    En quelques sortes, est un majorant de l'ensemble des distances quand et appartient à cet ensemble.

    Citation Envoyé par Garf* Voir le message
    * Traiter le cas à part.
    Dans ce cas:


    .

    Le sup n'étant jamais réalisé pour :

    .

    Merci bien.

    Cordialement
    Mimo

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