Conjoncture sur l'infinité des nombres premiers jumeaux

[imanuelga]

Bonjour,

il existerait une infinité de nombres premiers jumeaux mais ceci reste une conjoncture.

Cependant quelque chose m'échappe :

Pour démontrer qu’il y a une infinité de nombre premier, la démonstration d’Euclide revient à dire que si l’on a la liste de tous les premiers jusqu’à un certain nombre, on sait construire un nouveau premier en multipliant les nombres de cette liste et en ajoutant 1. Car si ce nouveau nombre était divisible par un nombre premier « d » inférieur au dernier de cette liste, cela reviendrait à dire que 1 aussi serait divisible par ce diviseur.

Mon étonnement est le suivant : de la même façon que l’on construit un nombre premier en ajoutant 1, si l’on soustrait 1, ce nombre sera premier pour les mêmes raison. Donc il existe une infinité de nombres premiers jumeaux !

Où est-ce que je me trompe ?

Cordialement,
Manuel Garrido

[Médiat]

Oui, vous vous trompez .

D'abord il s'agit d'une conjecture et non d'une conjoncture.

Mais surtout vous faites une erreur sur la démonstration, qui ne prétend pas que n! + 1 est premier, mais simplement que ses diviseurs premiers sont supérieurs à n.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,


Alors la démonstration de P infin ce fait de deux façons grâce à la primorielle (produit des nombres premier inférieurs ou égaux à n et positifs)

La 1ère :
Supposons P fini donc il contient un nombre fini d'éléments rangés dans l'ordre. Considérons maintenant le nombre alors on a d'après l'écriture précédente une égalité de Bézout sur tous les couples :
d'où et sont premiers entre eux donc aucun de ces entiers premiers ne divise n. Or d'après le théorème de factorisation, tout nombre non inversible et non nul de est divisible par un nombre premier donc il existe qui divise n avec p premier. Or d'après ce qui précède p ne peut pas appartenir à P car il est fini et contient seulement donc contradiction!
Donc P est infini.

la 2ème (celle que imanuelga doit connaitre ) :
Supposons P fini donc il contient un nombre fini d'éléments rangés dans l'ordre. Considérons maintenant le nombre alors on a d'après l'écriture précédente une égalité de Bézout sur tous les couples :
d'où et sont premiers entre eux donc n n'est divisible que par 1 et lui même (car aucun des nombres premiers ne le divisent et n est différent de 1) donc il est premier (MAIS !! attention sous les hypothèses que l'on s'est fixées cela est vrai mais il peut y avoir nombre de nombre premiers entre et car justement P est infini !! )
Donc comme P est fini et ne contient que on a donc une contradiction.
Donc P est infini.

Donc voilà le problème dans le raisonnement, on a P fini implique que n est premier est juste , çela ne reste vrai que dans la démonstration car nous avons supposé quelque chose de faux.
C'est comme cette phrase logique dans les entiers naturels:



En supposant 1=2 il est aisé de montrer que 2=3 mais ceci n'est pas vrai car ce que l'on a supposé est bien évidemment faux.

RoBeRTo

[imanuelga]

ben oui !!
merci

je n'ai pas bien assez dormi cette nuit !

Cdt,

[leg]

Bonjour,



Pour démontrer qu’il y a une infinité de nombre premier, la démonstration d’Euclide revient à dire que si l’on a la liste de tous les premiers jusqu’à un certain nombre,
on sait construire on sait montrer qu'il y a un nouveau premier en multipliant les nombres de cette liste et en ajoutant 1. Car si ce nouveau nombre était divisible par un nombre premier « d » inférieur au dernier de cette liste, cela reviendrait à dire que 1 aussi serait divisible par ce diviseur.

Mon étonnement est le suivant : de la même façon que l’on (construit) montre un nombre premier en ajoutant 1, si l’on soustrait 1, ce nombre sera premier pour les mêmes raison: Non Donc il existe une infinité de nombres premiers jumeaux !
non

Cordialement,
Manuel Garrido

car on pourrait peut être avoir n+1 = premier mais est ce que pour autant n - 1 est aussi premier, à ce moment la..? il sont probablement pas premiers ni l'un ni l'autre ....

2*3*5*7 =210
210+1=211; P
210-1=209 =11*19; non P

(2*3*5*7*11*13*17*19) plus ou moins 1 aucun n'est premiers.

[zuckflow]

A PROPOS DE L’INFINITE DES NOMBRES PREMIERS JUMEAUX
Je propose là une méthode pour prouver l'infinité des npj et vous me dites ce que vous en pensez :
Cela se base sur deux conditions:

PREMIERE CONDITION

Soit I l'ensemble des npj noté I : ((3,5); (5,7); ....; n; (n+2))
Quelque soit les NPJ pris pour NP ≥ 5, l'intervalle est toujours de 6x.
Donc : soit un NPJ N et son jumeau N+2
N + 1 = 6 Γ
Lim 6 Γ = +∞
Γ → +∞
Donc :
Voilà ce qu'on peut dire sans se tromper :
(Si N ≥ 5, tous les 6 Γ ne sont pas N+1 et sachant qu'il n'existe de NPJ qui ne soient séparés par 6 Γ).
1ère conclusion : On peut dire que la suite des 6x dans sa généralité est infinie et porte par la même occasion les 6 Γ inter NPJ. Mais cela à lui seul ne permet d'affirmer en toute certitude que les NPJ sont infinis.
DEUXIEME CONDITION
Nous allons raisonner par l'absurde pour prouver l'infinité des NPJ (ceci reprend des points de la démonstration euclidienne à propos des NP).
Considérons que les NPJ soient finis.
Donc il existe un produit de tous les NPJ alors : 3*5*5*7*11*13*17*19*.....*N*(N +2)
Ajoutons à ce produit 1 et nous aurons un chiffre A= 3*5*5*7*11*13*17*19*(N²+2N) +1
Ce nombre A est pair implique qu'il est au moins divisible par 2 et au plus par 4 et/ou 8 et/ou 16 et/ou 32.....
Nous en arrivons à l'égalité :
A = 2R : en remplaçant A par son expression, nous avons :
3*5*5*7*11*13*....*(N² +2N) + 1 = 2 R

R = A /2 R est réel, 2 est réel donc A doit forcément être un réel différent de 0 donc sa limite en plus l'infini doit être fini logiquement :
Lim A = Lim (3*5*5*7*11*13*….*(N² + 2N) + 1 /2) = + ∞
N → +∞ N→ +∞
Ce qui contredit le rapport R = A/2R.
CONCLUSION 2 : le rapport A/2 correspondant au réel R donc sa limite en +∞ devrait être finie or elle est infinie, ce qui n’est pas cohérent. Donc si la limite tend vers l’infini, étant donné que 2 le dénominateur est finie, la limite n’est infinie que parce que A est infini.
CONCLUSION 3 : A partir des deux premières conclusions, on peut dire que la suite des NPJ est infinie.
Donc du fait de cette incohérence, on peut dire que les NPJ sont infinis.

[NicoEnac]

car on pourrait peut être avoir n+1 = premier mais est ce que pour autant n - 1 est aussi premier, à ce moment la..? il sont probablement pas premiers ni l'un ni l'autre ....

2*3*5*7 =210
210+1=211; P
210-1=209 =11*19; non P

(2*3*5*7*11*13*17*19) plus ou moins 1 aucun n'est premiers.

imanuelga ne prétendait pas que n! +/- 1 est premier quelquesoit n. Il cherchait la faille dans son raisonnement... Lire les posts dans leur totalité ainsi que les réponses peut parfois servir...

[NicoEnac]

Bonjour,

Voici les premières questions qui me viennent à l'esprit :

Soit I l'ensemble des npj noté I : ((3,5); (5,7); ....; n; (n+2))
Quelque soit les NPJ pris pour NP ≥ 5, l'intervalle est toujours de 6x.

D'où sort "x" ? Il n'a même pas été défini...

N + 1 = 6 Γ

D'où sort "Γ" ? Il n'a pas non plus été défini...

CONCLUSION4 : votre "démonstration" est un charabia qu'il faut à tout prix clarifier en définissant correctement les variables que vous utilisez et que vous utilisiez des expressions mathématiques.

[zuckflow]

Tu as raison.
N désigne un nombre premier jumeau
N + 2 désigne le jumeau de N
6 lambda (la lettre grecque) signifie multiple de 6.
J'ai pas dit que tous les multiples de 6 soient compris entre les nombres premiers jumeaux mais il n'existe pas de nombres premiers jumeaux N et N+2 tel que N+1 ne soit pas un multiple de 6.
R désigne un réel donné par A sur 2 je pense que j'ai eclairci toutes les inconnues que j'ai utilisé.

[zuckflow]

Età l'avenir, la conclusion 4 comme vous l'appelez vous auriez pu vous en passer, c po très correct. J'avais pas défini mes inconnues ok mais kan mm

[NicoEnac]

Età l'avenir, la conclusion 4 comme vous l'appelez vous auriez pu vous en passer, c po très correct. J'avais pas défini mes inconnues ok mais kan mm

Vous avez raison. Je vous présente mes excuses, la conclusion 4 n'était pas nécessaire. Disons que mon contexte de travail a fait que j'étais (un peu) énervé et que j'ai été trop sec avec vous.

[zuckflow]

Je comprends ça arrive, c'est pas grave. Est ce que tu pourrais examiner ma proposition pour voir si tu la trouves correcte.

[Médiat]

c po très correct. J'avais pas défini mes inconnues ok mais kan mm

Cette partie est bien du charabia, interdit par la charte que vous avez signée.

Médiat, pour la modération

[NicoEnac]

Par rapport à votre raisonnement, je trouve plusieurs erreurs :

1ère conclusion : On peut dire que la suite des 6x dans sa généralité est infinie et porte par la même occasion les 6 Γ inter NPJ. Mais cela à lui seul ne permet d'affirmer en toute certitude que les NPJ sont infinis.

Le fait que pour un nombre premier jumeau N supérieur à 5, N+1 soit multiple de 6 et que la suite U_n = 6.n ne garantit absolument pas que l'ensemble des NPJ est fini.

DEUXIEME CONDITION
Nous allons raisonner par l'absurde pour prouver l'infinité des NPJ (ceci reprend des points de la démonstration euclidienne à propos des NP).
Considérons que les NPJ soient finis.
Donc il existe un produit de tous les NPJ alors : 3*5*5*7*11*13*17*19*.....*N*(N +2)
Ajoutons à ce produit 1 et nous aurons un chiffre A= 3*5*5*7*11*13*17*19*(N²+2N) +1
Ce nombre A est pair implique qu'il est au moins divisible par 2 et au plus par 4 et/ou 8 et/ou 16 et/ou 32.....
Nous en arrivons à l'égalité :
A = 2R : en remplaçant A par son expression, nous avons :
3*5*5*7*11*13*....*(N² +2N) + 1 = 2 R

R = A /2 R est réel, 2 est réel donc A doit forcément être un réel différent de 0 donc sa limite en plus l'infini doit être fini logiquement :
Lim A = Lim (3*5*5*7*11*13*….*(N² + 2N) + 1 /2) = + ∞
N → +∞ N→ +∞

Je ne comprends pas votre passage à la limite. Il sous-entend que l'ensemble des NPJ est infini sinon comment voulez-vous que le "N" (qui représente votre nombre premier jumeau maximum) tende vers +infini. Donc vous supposez que l'ensemble des NPJ est infini pour prouver qu'il est infini. On tourne en rond

[zuckflow]

Je suis d'accord sur ce que tu dis que le fait que de dire que les npj sont séparés par des multiples de 6 ne permet pas d'affirmer irrémédiablement que les NPJ sont infinis.
Pour la limite, j'ai essayé de traduire R sous forme d'une valeur avec variable : Si je dis A / 2 = R
Et tu as vu que l'expression de A possède des inconnues. En fait le passage à la limite me permet de voir si je remplace n par l'infini dans l'expression de A si j'aurai une limite finie ou infinie. merci de l'info mediat.