base non othonormée

[membreComplexe12]

Bonjour tous,

lors de mon cursus je ne me rappel qu'avoir effectué des calculs dans des bases othonormées:

1°) je voudrais donc savoir qu'es ce qui change si la base n'est plus othornormée?

2°) le produit scalaire et le produit vectoriel n'ont plus la meme expression?

3°) d'ailleurs je me pose une question: si on a trois vecteur non orthogonaux alors ils ne representent pas une bases car ils ne sont pas indépendants ?

bref, je suis un peu pommé là...

[ericcc]

3°) Les vecteurs (0,1,1) (1,0,1) et (1,1,0) forment bien une base de IR^3, et ne sont pourtant pas orthogonaux pour le produit scalaire euclidien.

[membreComplexe12]

3°) Les vecteurs (0,1,1) (1,0,1) et (1,1,0) forment bien une base de IR^3, et ne sont pourtant pas orthogonaux pour le produit scalaire euclidien.

merci d'avoir pris le temps de repondre, je n'ai pas trop compris ta reponse.
Pour moi (mais je me trompe surement) on a une base dans que si les vecteurs sont orthogonaux 2 à 2 car sinon cela voudrais dire que l'on peut ecrire un des vecteurs en fonction de deux autres?

[ericcc]

Essaye d'écrire l'un de mes vecteurs en fonction des deux autres ?

[skydancer]

Bonjour,

Je pense que vous devez confondre orthogonal et linéairement indépendants. On peut construire une base avec des vecteurs indépendants qui ne sont pas forcément orthogonal ni même normés.

[membreComplexe12]

Bonjour,
Je pense que vous devez confondre orthogonal et linéairement indépendants. On peut construire une base avec des vecteurs indépendants qui ne sont pas forcément orthogonal ni même normés.

d'accord, j'avais deja oublié cela....

en se qui concerne m'a question sur le produit scalaire, les relations:
a.b=a1b1+a2b2+a3b3
|a.b|=|a||b|cos(a,b)

ne sont valables que si on est dans une base othonormée?
si oui quel est l'allure dans une autre base ?
si non, pourquoi?

merci d'avance pour votre aide

[skydancer]

Oui cette relation est valable dans un espace muni d'une base orthogonal et normé. Dans un espace muni d'une base quelconque la relation est plus complexe : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit...ase_quelconque

[skydancer]

Note aussi qu'il n'y a pas UN seul produit scalaire. C'est une notion abstraite (forme bilinéaire, symétrique définie positive ), pour un espace donné on peut en général définir tout un tas de produit scalaire différent. Celui qui t'intéresse est surement le produit scalaire canonique utilisé en algèbre linéaire.

[membreComplexe12]

Oui cette relation est valable dans un espace muni d'une base orthogonal et normé. Dans un espace muni d'une base quelconque la relation est plus complexe : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit...ase_quelconque

d'accord, c'est cela que je voulais connaitre. Sais tu d'où vient l'expression de cette matrice?
connais tu un lien qui etablie la demonstration?

les produit scalaire qu'il y a dans cette matrice sont les produit scalaire 'classique' ?

[membreComplexe12]

un petit up pour avoir la demonstration de cette relation où un peu plus d'explication sur son origine