Groupes, produit direct, distributivité

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai un problème dans un petit raisonnement de théorie des groupes, pouvez-vous s'il vous plaît essayer de me débloquer ? Je pense que c'est assez élémentaire mais je me retrouve souvent calé par des bêtises, en théorie des groupes

Je considère un groupe abélien dont les sous-groupes vérifient la distributivité c'est-à-dire si sont des sous-groupes de alors (<> désigne le groupe engendré) :



On souhaite voir que si alors est cyclique (On veut donc voir que la propriété de distributivié implique que le groupe est localement cyclique).

Par le théorème fondamental sur les groupes abélien, si n'est pas cyclique c'est qu'il est le produit direct de deux groupes cycliques, soit .

Puis-je à ce stade en déduire que ? J'hésite, or je pense avoir besoin de cette propriété dans la suite ...

merci