Aire cercle

[carogo]

Voici un exercice j'ai beau cherché je n'arrive pas du tout à un résultat de ce genre merci de bien vouloir m'aider.

On considère un cercle C de rayon R >0. Pour tout nombre entier n>=3 on désigne Pn un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle C ( ainsi par exemple, P3 est un triangle équilatéral inscrit dans C, P4 un carré inscrit dans C, P5 et P6 des pentagone et hexagone réguliers inscrits dans C, etc...)
On définit la suite An = l'aire de Pn

a) Montrer que An= nR²sin(pi/n)cos(pi/n)
b) Lorsque n->infini la suite des polygones tend vers le cercle C. Donc la suite An doit tendre vers l'aire du disque enfermé par C. Confirmer cela par le calcul de la limite de la suite (An)

[Jeanpaul]

Ca résulte du théorème qui dit que l'aire du triangle OAB est égale à 1/2 OA.OB.sin(AOB)

[carogo]

J'ai bien trouvé An = n.(1/2).R.sin(pi/n)
mais j'ai le 1/2 en trop et il me manque aussi un R et cos(pi/n) a faire apparaitre...
Et la j'ai beau faire des transformations je n'arrive pas à la réponse voulue...

[Jeanpaul]

Revois An, il y a au moins 2 erreurs. Reprends la formule EXACTEMENT.

[carogo]

le problème c'est que tu me dis que la formule pour l'aire du triangle OAB est égale à 1/2 OA.OB.sin(Â)
Or moi la formule que je connais c'est 1/2 OB.sin(Ô).
C'est pas la même chose.
Sinon j'ai trouvé An = R.sin(pi/n)
J'ai réussi à enlever le 1/2 par contre impossible de faire apparaitre le cos(pi/n) et R²...

[ericcc]

On va faire autrement :

Ton polygone à n côtés est constitué de n triangles élémentaires. Prenons en un, que l'on appelle AOB (O est le centre du cercle).
On trace la hauteur issue de O qui coupe AB en H.
Que vaut l'angle AOB ? Que vaut OH ? Que vaut AH ? Quelle est l'aire du triangle AOB ?

[carogo]

Alors je trouve que :
angle AOB = pi/(n/2)
OH= (2xAire)/AB
AH= AB/2
Aire AOB = (1/2).AB.sin(pi/(n/2))

[HigginsVincent]

Alors je trouve que :
angle AOB = pi/(n/2)
OH= (2xAire)/AB
AH= AB/2
Aire AOB = (1/2).AB.sin(pi/(n/2))

Bonsoir,
Je vais mettre mon grain de sel

J'aurais procédé un peu différemment.

On demande d'exprimer l'aire de AOB comme étant proportionnelle au produit du sinus et du cosinus de l'angle AOH. Or AH peut s'exprimer en fonction du sinus et BH en fonction du cosinus. De plus le produit des deux longueurs (AH.BH) est égal à l'aire du triangle AOB ! Donc j'aurais calculé en premier les longueurs AH et BH en fonction des cosinus et sinus de l'angle AOH, puis en faisant le produit des deux longueurs, j'aurais obtenu l'aire sous la forme voulue...

Je ne sais pas si j'ai été clair !

Bon courage.

[Jeanpaul]

le problème c'est que tu me dis que la formule pour l'aire du triangle OAB est égale à 1/2 OA.OB.sin(Â)
Or moi la formule que je connais c'est 1/2 OB.sin(Ô).
C'est pas la même chose.

C'est vrai que c'est pas la même chose, toute la différence entre un résultat juste et un résultat faux. C'est sin(O), soit dit en passant, pas sin(A).

[ericcc]

Alors je trouve que :
angle AOB = pi/(n/2)
OH= (2xAire)/AB
AH= AB/2
Aire AOB = (1/2).AB.sin(pi/(n/2))

Il y a des erreurs :

-OH peut s'exprimer en fonction de R et de l'angle AOB
-Idem pour AH
-Une formule pratique pour l'aire d'un triangle c'est "Base*Hauteur/2"

[carogo]

Olala beaucoup d'explications différentes qui m'embrouillent un peu!

ericcc : j'ai du mal à comprendre comment avec ta formule pour l'aire je peux arriver à avoir des sinus et cosinus. Je ne vois pas non plus comment je pourrais exprimer OH et AH en fonction de R.

Jeanpaul : je ne vois pas le rapport entre les deux formules.

HigginsVincent : je n'arrive pas à exprimer les longueurs en fonction des sinus et cosinus...

Merci pour votre aide, je suis totalement perdue...

[HigginsVincent]

je n'arrive pas à exprimer les longueurs en fonction des sinus et cosinus...

Merci pour votre aide, je suis totalement perdue...

On va considérer le triangle AOH (comme défini par JeanPaul) :
- l'angle AOH vaut combien ?
- on est bien d'accord que le triangle AOH est rectangle en H ?
- le cosinus de AOH, par définition, est égal au rapport de OH par AO (AO=R)
- le sinus de AOH est égal au rapport de AH par AO.

Ensuite, on veut l'expression de l'aire du triangle AOB considéré :
- on exprime d'abord l'aire en fonction des longueurs AH et OH,
- on en déduit l'expression de l'aire de AOB en fonction de R, et des sinus et cosinus de l'angle AOH...

Est-ce que c'est plus clair ?

[carogo]

angle AOH = sin AOH
ok pour le triangle rectangle en H.
Aire ABO= AH.OH
J'ai l'impression de tourner en rond la...
Je suis totalement perdue

[HigginsVincent]

angle AOH = sin AOH

Euh, non, pas vraiment.
Je crois qu'il faut que tu revoies un cours sur les fonctions trigo...

Fais une figure de ce fameux triangle AOB et essaye de la poster dans un de tes prochains messages, ce sera plus facile de voir où tu bloques...

[carogo]

Le problème c'est que j'arrive d'une filière ou je n'avais pas vu ça auparavant et mon prof ne nous a pas donné la formule donc c'est un peu dur. Vous pourriez pas m'aider?