Polynome de degré 4

[invitede6f3928]

Bonjour,
tout d'abord voila l'exercice que j'ai a faire :
"On considere l'equation x^4 - 2x^3 - 6x² - 2x + 1 = 0 (E)
1. Verifier que 0 n'est pas solution de (E)."

Voila pour la 1ere question, je vous donnerai les suivantes si je n'y arrive pas par la suite. Voila en fait je ne sais pas du tout quelle est la méthode qu'il faut utiliser pour faire cette question donc je vous la demande pour que je puisse commencer mon exercice.

Merci d'avance

[invite19415392]

Il n'y a pas de mystère : tu vérifies que si x = 0, alors (E) est fausse. C'est à dire, tu prends (E), tu remplaces x par 0, et tu tombes sur une égalité fausse.
Pour rappel : les solutions d'une équation sont les valeurs de la variable telles que l'équation (ie, l'égalité) est vraie.

[invitede6f3928]

Bonjour,
merci pour ta réponse rapide et bonne normalement car je trouve -1 donc comme c'est négatif ce n'est pas une solution.
La deuxieme question que je n'arrive pas c'est "2. Montrer que, si "alpha" (je ne sais pas taper la lettre) est solution de (E) alors 1/alpha est aussi solution de (E)."
Je croyais que je devais mettre E à la place de alpha mais je ne suis pas sur donc pour ne pas me tromper je vous demande de m'aider en m'indiquant la méthode.

Merci d'avance

[inviteb85b19ce]

Salut,

C'est sûr que si tu ne fais rien, tu ne risques pas de te tromper...
Essaye au moins quelque chose, sinon tu n'arriveras jamais à rien par toi-même.

Ceci dit, je vois que tu as quand même un début de raisonnement : remplace x par 1/ dans E, réduis au même dénominateur et observe ensuite le numérateur...

A+

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[inviteaf1870ed]

Moi je trouve 1 si x=0 !!!!!

[invitede6f3928]

Ha oui désolé moi aussi je trouve 1 je m'étais trompé de signe mais alors qu'est ce qu'on doit dire dans ces cas là ?

[invitede6f3928]

Aussi j'ai fais ta méthode Odie et j'ai trouvé (je remplace alpha par a pour faire plus simple) a^4 - 2a^3 - 6a^2 - 2a +1 / a^4 donc au numérateur je retrouve bien mon expression de départ mais là est ce que je dois juste dire qu'au numérateur j'ai retrouvé mon expression de départ et que la valeur insterdite est au dénominateur ?

Merci d'avance

[inviteb85b19ce]

Le dénominateur ne pose pas de problème car on a justement démontré au 1) que 0 n'était pas solution.

Le numérateur est nul car a est solution par hypothèse.

Donc (1/a)⁴ - 2(1/a)³ - 6(1/a)² - 2(1/a) + 1 = 0
(1/a) est par conséquent solution de (E).

[invitedebe236f]

x^4 - 2x^3 - 6x² - 2x + 1 = 0
remplace x par 0 ca donne 1 = 0 impossible donc 0 n est pas solution
on suppose "a" est solution donc
a^4 - 2a^3 - 6a² - 2a + 1 = 0 vrai
regardons si avec 1/a soit a^-1
a^-4 - 2a^-3 - 6a^-2 - 2a^-1 + 1 = 0 est vrai
on multiplie tous par a4 ca donne
1-2a-6a^2-2a^3+a^4 =0 on retrouve l equation donc on a demontrer

[invitedebe236f]

je supose apres qu on demande les 4 solutions faut surement diviser des polynome ou un truc du genre et on arrive
a -1 et son inverse (4-racine(12))/2 et son inverse

[invitede6f3928]

Merci pour toute ces réponses c'est vraiment sympa et je comprends de mieux en mieux c'est bien. Sinon la question qui suit c'est "3. Montrer que l'équation (E) est équivalente à : x² - 2x - 6 - 2/x + 1/x² = 0 ."
Donc pour cette question je crois qu'il faut remplacer x = x² ou un truc comme ça mais je ne suis pas vraiment sur donc je prefere vous demander juste la méthode et comme ça après je fais par moi même.

Merci d'avance

[invite0982d54d]

pour montrer x² - 2x - 6 - 2/x + 1/x² = 0 tu n'as rien à poser.
Tu as trouver que 0 n'annulé pas le polynome x^4 - 2x^3 - 6x² - 2x + 1 = 0 donc tu peux diviser toute ton equation par x² et ainsi montrer l'equivalence.

[invitede6f3928]

Merci pour ta réponse iwio mais est tu sur qu'on peut comme ça diviser par x² ? il ne faut pas donner des explications pour ça ?
Sinon la prochaine question est assez simple mais je rpefere que vous verifiez si elle est bonne c'est "4. Calculer (x + 1/x)² donc c'est une identité remarquable ça fait donc x² + 2x/x + 1/x² ,est ce bien cela ?

Merci d'avance

[invite0982d54d]

Comme x=0 n'est pas solution de ton équation x^4 - 2x^3 - 6x² - 2x + 1 = 0
alors pour tout tu peux diviser ton équation par x²

Sinon pour calculer (x + 1/x)², tu as bon. et n'oublie pas de simplifier ton 2x/x en 2.

[invitede6f3928]

Ok merci une fois de plus pour ces aides que vous m'apporter.
Pour la prochaine question j'ai un plus gros problème, je ne vais pas tourner en rond voici la question : "5. En posant X=x + 1/x, montrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation X² - 2X - 8 = 0 ."
Pour cette question le problème qui se pose à moi est de savoir si on doit partir de l'équation initiale ou d'une autre calculer dans les questions précédentes et qu'est ce qu'on doit remplacer dans l'équation car la je ne vois aps très bien.

Merci d'avance

PS : pour la question 4 ça me donne x² + 2 + 1/x² normalement c'est bon mais je ne sais pas si ça a un rapport avec la question 5.

[invite5f448492]

On a X= x+1/x ie. X² = x² +2 +1/x² ie. X²-2 = x²+1/x²

Tu factorises tout par x² (tu peux car 0 pas solution).

Ensuite tu as : (x²+1/x²) -2 (x+1/x) - 6 = 0.
X = x+1/x

donc on a :

X²-2 -2X-6 = 0 ie. X² -2X - 8 = 0.

Et ça, tu sais résoudre.

Ca s'appelle une équation réciproque (du 4ème degré).

EDIT : juste une question, tu es en quel niveau ?

[invitede6f3928]

Merci pour ta réponse je vais essayer ça sinon on vient juste de commencer les poylynomes de degre 3 ,4 ,5 le second degre je connais bien.

PS : quand tu mets ie ça veut dire quoi ?

[invite5f448492]

ie. ça veut dire id est qui signifie c'est-à-dire (équivalent en fait).

Si tu veux, j'ai une équation réciproque du 6ème degré en stock (j'ai eu ça en DS).

[invite8ec5a6d5]

Salut
voici mon probleme Il ressemble beaucoup au votre...
Je suis tout de meme bloque. j aurais espere que maintenant que l'on t'as explique et que tu as compris tu puisse m'aider.

Considerons le polynome P(x)=x^4-2x^3-x^2-2x+1.

demontrez que si x0 est une racine alors 1/x0 est une racine de P.
Demontrez que l'egalite P(x)=0 est equivalente a x^2-2x-1-2x*1/x+1/x^2=0 pour tout x non nul.

Posons X=x+1/x.Demontrer que x est solution de l'equation P(x)=0 si et seulement si X est solution de l'equation X^2-2X-3=0.(1)

Resoudre l'equation (1) en trouvant une racine evidente
En deduire que les racines de P sont les solutions de x^2+x+1=0 (2) et ls solutions de x^2-3x+1=0.(3)

resoudre (2) et(3) en utilisant la forme canonique puis conclure.

S'il te plaits explique moi....

[invite6de68776]

I.E signifie "c'est à dire"

Je suis nouveaux et je voudrais savoir si les équations réciproques marchaient pour chaque polynômes du 4éme degré????
Car pour peu que l'équation soit légérement modifier en changeant x²-2x-6-2/x+1/x² par x²-2x-6-2/x+2/x² ça ne marche plus, non?

[invite5f448492]

2 x/x c'est 2.

Ensuite, pour résoudre, tu poses X = x+1/x et tu peux factoriser ton polynôme (en trouvant une racine évidente).