Exprimer le n-ième terme d'une suite

stokastik · 15/10/2005 - 15h16

En théorie de Galois différentielle, on démontre que certaines fonctions n'admettent pas de primitive sous forme d'une composée de fonctions usuelles.

Je me pose une question du même esprit pour les suites : existe-t-il une suite pour laquelle on ne peut pas exprimer son n-ième terme comme une fonction de n, composée de fonctions usuelles ?

D'où la question : étant donné un ensemble dénombrable de points du plan d'abscisses deux à deux différentes, quels moyens connaît-on pour construire une fonction dont la courbe passe par ces points ?

Odie · 15/10/2005 - 17h17

Envoyé par stokastik

étant donné un ensemble dénombrable de points du plan d'abscisses deux à deux différentes, quels moyens connaît-on pour construire une fonction dont la courbe passe par ces points ?

Tu veux dire : à part les polynômes d'interpolation de Lagrange?

stokastik · 15/10/2005 - 18h03

Les polynômes d'interpolation de Lagrange,ça marche avec un nombre fini de points, pas un nombre dénombrable non fini.

martini_bird · 17/10/2005 - 14h39

Envoyé par stokastik

D'où la question : étant donné un ensemble dénombrable de points du plan d'abscisses deux à deux différentes, quels moyens connaît-on pour construire une fonction dont la courbe passe par ces points ?

Salut,

stricto sensu, il existe une infinité de fonction qui passe par ces points, à commencer par la fonction affine par morceaux qui les relie.

Après, tu peux aussi lisser la fonction en utilisant des splines (des "polynômes par morceaux").

Cordialement.

kaya31 · 17/10/2005 - 15h47

Envoyé par stokastik

Je me pose une question du même esprit pour les suites : existe-t-il une suite pour laquelle on ne peut pas exprimer son n-ième terme comme une fonction de n, composée de fonctions usuelles ?

Un exemple tout simple est la suite des nombres premiers.

Envoyé par stokastik

D'où la question : étant donné un ensemble dénombrable de points du plan d'abscisses deux à deux différentes, quels moyens connaît-on pour construire une fonction dont la courbe passe par ces points ?

Du coup, la réponse à cette question est qu'on ne peut pas toujours trouver une telle fonction (aucune fonction analytique n'énumère la distribution des nombres premiers). En fait, c'est même plutôt rare à moins d'avoir des cas où l'on peut construire une telle fonction.
Dans le cas général, on ne peut rien faire, dans des cas particuliers où l'on a des informations sur la distribution des points (gaussiennes p.ex.) on peut s'en sortir.

Envoyé par martini_bird

stricto sensu, il existe une infinité de fonction qui passe par ces points, à commencer par la fonction affine par morceaux qui les relie.

Après, tu peux aussi lisser la fonction en utilisant des splines (des "polynômes par morceaux").

Oui, c'est vrai. Mais il est impossible d'exprimer la fonction pour une infinité de points (l'expression de la fonction serait infinie).
Je crois que le sens de la question etait de trouver une l'expression analytique d'une fonction passant pas cette inifinité de points.

Cordialement.

stokastik · 17/10/2005 - 18h32

D'abord, merci à vous deux, martini_bird et kaya31.

Kaya31,

1) Quand tu parles de fonction analytique, cela veut bien dire une fonction développable en série entière en tout point ?

2) Pourquoi dis-tu que la suite des nombres premiers est un exemple tout simple ? Est-ce que c'est facile de montrer qu'il est impossible de déterminer une fonction f, définie par une expression algébrique, composée de fonctions usuelles, telle que f(n) est le n-ième nombre premier ?

martini_bird · 17/10/2005 - 19h24

Salut,

Envoyé par kaya31

Un exemple tout simple est la suite des nombres premiers.

Et la formule de Minàc et Willans qui donne le n-ième nombre premier?

$p_n=1+\sum_{m=1}^{2^n}\left\[\left\[\frac{n}{1+\sum_{j=2}^m \left\[\frac{(j-1)!+1}{j}-\left\[\frac{(j-1)!}{j}\right]\right\]}\right\]^{\frac{1}{n}}\right\]$

(Et il y en a d'autres.)

Envoyé par kaya31

Oui, c'est vrai. Mais il est impossible d'exprimer la fonction pour une infinité de points (l'expression de la fonction serait infinie).
Je crois que le sens de la question etait de trouver une l'expression analytique d'une fonction passant pas cette inifinité de points.

Tout dépend du point de vue selon lequel on se situe: en théorie la solution que j'ai proposée (interpolation affine) est tout à fait valable. En pratique cependant, il faut connaître tous les points pour la construire de manière effective (avec un ordinateur par exemple).

Tout dépend de la définition de fonction sous-jacente.

Pour compléter: la fonction caractéristique de l'ensemble des rationnels est une vraie fonction, mais aucun ordinateur ne sera jamais capable de la calculer.

Cordialement.

stokastik · 18/10/2005 - 08h41

Malgrè vos interventions, je n'ai toujours pas réponse à ma question...
Est-ce que, de façon analogue à la théorie de Galois différentielle où l'on montre que telle fonction n'admet pas de primitive sous forme "sympa", on peut démontrer qu'il n'existe pas de fonction "sympa" pour exprimer le n-ième terme d'une suite ??

martini_bird · 18/10/2005 - 11h04

Salut,

le problème c'est que ta question est mal posée: qu'entends-tu par fonction "sympa"?

En théorie de Galois différentielle, une fonction "sympa" c'est une fonction algébrique sur un corps de fonction donné (une extension du corps des fonctions rationnelles par exemple).

Pour poser le problème, étant donnée une suite $(u_n)$ , tu cherches une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ telle que $f(n)=u_n$ . Maintenant tout dépend des conditions que tu imposes à $f$ .

Cordialement.

yat · 18/10/2005 - 12h56

Envoyé par martini_bird

la formule de Minàc et Willans qui donne le n-ième nombre premier?

$p_n=1+\sum_{m=1}^{2^n}\left\[\left\[\frac{n}{1+\sum_{j=2}^m \left\[\frac{(j-1)!+1}{j}-\left\[\frac{(j-1)!}{j}\right]\right\]}\right\]^{\frac{1}{n}}\right\]$

J'ai cherché un peu, et les quelques sources que j'ai trouvé donnent effectivement cette formule. Pourtant j'aurais parié qu'il y avait une faute de frappe quelque part

. Puisque manifestement ce n'est pas le cas, quelqu'un peut peut-être m'expliquer pourquoi dans la deuxième somme on a $\left\[\frac{(j-1)!+1}{j}-\left\[\frac{(j-1)!}{j}\right\]\right\]$ et pas plus simplement 1/j ???

martini_bird · 18/10/2005 - 23h51

Envoyé par yat

J'ai cherché un peu, et les quelques sources que j'ai trouvé donnent effectivement cette formule. Pourtant j'aurais parié qu'il y avait une faute de frappe quelque part

. Puisque manifestement ce n'est pas le cas, quelqu'un peut peut-être m'expliquer pourquoi dans la deuxième somme on a $\left\[\frac{(j-1)!+1}{j}-\left\[\frac{(j-1)!}{j}\right\]\right\]$ et pas plus simplement 1/j ???

Salut,

les crochets sont des partie entières...

Cordialement.