calcul de réssidus.

fusionfroide · 23/05/2011 - 11h27

Bonjour,

Je cherche à calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :

$5$\int_{-\infty} ^{+\infty } \frac{e^{-ikz}}{z^4+a^4} dz$

il se trouve qu'on a besoin de calculer les résidus en :

$z_1=ae{\frac{i5\pi}{4}}$

$z_2=ae{\frac{i7\pi}{4}}$

J'utilise la méthode de $5$\frac{p(x)}{Q'(x)}$

$5$\frac{p(x)}{Q'(x)}= \frac{e^{-ikz}}{4z^3}$

Mais quand je remplace $z$ par $z_1$ et $z_2$ j'obtiens des résultats compliqués et pas du tout simplifiables surtout pour le terme en $e^{-ikz}$ .

Est ce que vous pouvez m'aider à continuer ce calcul ? merci.

KerLannais · 23/05/2011 - 12h45

Bonjour,

Pourquoi cela devrait être simplifiable plus que ça ?

Tu dois trouver

$-2i\pi\left(\frac{P(z_1)}{Q'(z_ 1)}+\frac{P(z_2)}{Q'(z_2)} \right)$
(il y a un signe moins puisqu'a priori tu tournes dans le sens inverse trigo)
On trouve donc
$-2i\pi\left(\frac{e^{-ikz_1}}{4z_1^3}+\frac{e^{-ikz_2}}{4z_2^3}\right)$
$-2i\pi\left(\frac{e^{ake^{\frac {3i\pi}{4}}}}{4a^3e^{\frac{15i \pi}{4}}}+\frac{e^{ake^{\frac{ 5i\pi}{4}}}}{4a^3e^{\frac{21i \pi}{4}}}\right)$
On a
$e^{ake^{\frac{3i\pi}{4}}}=e^{-\frac{ak}{\sqrt{2}}}\left(\cos \left(\frac{ak}{\sqrt{2}} \right)+i\sin\left(\frac{ak}{\ sqrt{2}}\right)\right)$
On peut faire de même pour l'autre exponentielle d'exponentielle et écrire les exponentielles complexes au numérateurs à l'aide des cosinus et des sinus des arguments qui sont connus puis muliplier par les quantités conjugués pour simplifier encore plus. Mais on ne peut pas faire grand chose de plus.

KerLannais · 23/05/2011 - 12h58

Une fois tout simplifié on trouve

$\frac{\pi}{\sqrt{2}a^3}e^{-\frac{ak}{\sqrt{2}}}\left(\cos \left(\frac{ak}{\sqrt{2}} \right)+\sin\left(\frac{ak}{ \sqrt{2}} \right) \right)$
c'est un réel ce qui est logique vu la parité de la fonction
$\frac{ 1 }{ x^4 + a^4 }$

KerLannais · 23/05/2011 - 13h02

D'ailleurs on peut encore réécrire le résultat sous la forme
$\frac{\pi}{a^3}e^{-\frac{ak}{\sqrt{2}}}\cos\left( \frac{ak}{\sqrt{2}}-\frac{\pi}{4}\right)$

calcul de réssidus.

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