différentiabilité de fonction de plusieurs variables

tariq_qui · 23/10/2005 - 12h06

bonjour
c quoi f est différentiable (définition )
c pas équivalent à f de classe C1
Merçi de votre aide

iwio · 23/10/2005 - 12h42

Les classes Cn, ça veut dire que ta fonction est dérivable n fois.
Je sais pas si ce que je dis est bien clair.

La fonction f(x,y,z) alors sa differentielle est,
$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz$

Mais bon, je sais pas si c'est que tu veux. Je comprend pas trop ta question.

tariq_qui · 23/10/2005 - 12h51

ma question est c quoi une fonction différentielle
comment on peut dire que f est différentielle
pour moi c j'ai bien compris" f différentielle ssi f est continue et admis des dérivées parielles premiers

tariq_qui · 23/10/2005 - 12h53

Envoyé par iwio

Les classes Cn, ça veut dire que ta fonction est dérivable n fois.
Je sais pas si ce que je dis est bien clair.

.

je pense qu'on peut pas dire que une fonction de plusieurs variables est dérivable

Coincoin · 23/10/2005 - 12h57

Salut,
Une fonction de plusieurs variables peut être dérivable suivant une direction mais pas une autre. Par contre, si les dérivées suivant les différents axes existent et sont continues, alors on montre que la fonction est dérivable suivant n'importe quelle direction. On dit alors que la fonction est C¹.

Pour moi, C¹ et différentiable c'est la même chose... mais je peux me tromper.

GuYem · 23/10/2005 - 14h16

Il faut toujours faire avec ces histoires de fonction à plusieurs variables!
On va travailler avec un nombre fini de variables (sur R^n)

Tout d'abord "f différentiable" c'est par définition l'existence en tous points de l'application linéaire qui est sa différentielle.

Ensuite f C^1 ça veut dire f différentielle ET que l'application a->df(a) est continue sur l'ouvert de différentiabilité de f.

-Si f est différentiable alors f est différentiable dans toutes les directions.

-On peut trouver des fonctions différentiables dans toutes les directions en un certain point mais qui ne sont pas différentiables en ce point.

-On peut trouver des fonctions qui sont différentiables mais pas C^1.

J'espère avoir répondu à tes questions tariq_qui

Quinto · 23/10/2005 - 20h44

Envoyé par Coincoin

Pour moi, C¹ et différentiable c'est la même chose... mais je peux me tromper.

Oui tu te trompes, C1 implique différentiable et pas l'inverse.
Déjà c'est pas vrai dans R.

Etre différentiable signifie qu'il existe une fonction r qui tend vers 0 en 0 et telle que
f(x+h)=f(x)+hf'(x)+hr(h)

GuYem · 23/10/2005 - 20h48

A noter cependant que dans R les fonctions dérivables et pas C^1 il faut les bien les chercher!

En effet une dérivée peut n'admettre que des discontinuités de deuxième espèce et il faut alors chercher des contre exemples avec monstres du genre cos(1/x) ou peut-être même encore plus tordu.

Lévesque · 27/03/2006 - 10h03

Bonjour, j'ai une petite question en lien étroit avec cette discussion.

Pour montrer que $x\left( \xi \right)$ est différentiable en $\xi$ , il faut montrer qu'il existe un opérateur linéaire $A$ sur $R^{n}$ de sorte que

${{{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|x\left( \xi +h\right) -x\left( \xi \right) -Ah|}{|h|}=0}}}$ (1).

Si je réécris (1) comme

${\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|x\left( \xi +h\right) -x\left( \xi \right)|}{|h|}-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{Ah}{|h|}=0}$ .
${\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|x\left( \xi +h\right) -x\left( \xi \right)|}{|h|}=A}$ .

Il faut donc montrer qu'il existe un opérateur A tel que l'égalité est vérifié? Cependant, j'ai la vague impression que l'opérateur A est le gradient de $x\left( \xi \right)$ (il ne doit pas y avoir des tonnes de A possibles).

Par exemple, si je calcule le gradient de $x\left( \xi \right)$ , et que je montre que le résultat ainsi obtenu est égal à

${\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|x\left( \xi +h\right) -x\left( \xi \right)|}{|h|}}$ , (2)

aurais-je montré hors de tout doute que $x\left( \xi \right)$ est différentiable en $\xi$ ?

Exemple: $x\left( \xi \right)=(f^1(\xi_1,...\xi_n),. ..,f^n(\xi_1,...\xi_n))$ , où $f^i$ pas nécessairement égal à $f^j$ si $j \neq i$ .

Le gradient de $x\left( \xi \right)$ est

$\vec \nabla x\left( \xi \right) = \sum\limits_i {\frac{{\partial f^i \left( {\xi _1 ,...,\xi _n } \right)}}{{\partial x_i }}}$ . (3)

Je calcule (2) et (3), et s'ils sont égaux, $x(\xi)$ est différentiables?

Je ne pourrais pas seulement calculer le gradient de $x(\xi)$ et être heureux que ce soit une fonction continue en tout points du domaine?

Merci!

Simon

rvz · 27/03/2006 - 10h54

Envoyé par Lévesque

Pour montrer que $x\left( \xi \right)$ est différentiable en $\xi$ , il faut montrer qu'il existe un opérateur linéaire $A$ sur $R^{n}$ de sorte que

${{{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|x\left( \xi +h\right) -x\left( \xi \right) -Ah|}{|h|}=0}}}$ (1).

Si je réécris (1) comme

${\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|x\left( \xi +h\right) -x\left( \xi \right)|}{|h|}-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{Ah}{|h|}=0}$ .
${\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|x\left( \xi +h\right) -x\left( \xi \right)|}{|h|}=A}$ .

Non, désolé, là tu as craqué.
En effet, la limite de \frac{Ah}{|h|} n'est pas bien défini en plusieurs dimensions. Imagine que tu aies f(x,y) ax + by. Alors ta matrice A sera la matrice diagonale
a 0
0 b
Du coup, ta limite vaut a si tu prends h= t e1, avec t tendant vers 0, et b si h= t e2, t tendant vers 0.
Du coup, ça plus trop de sens.

Sinon, effectivement, la différentielle en un point, si elle existe est unique.
En effet, tu peux regarder une fonction f de R^n dans R, et en un point x, pour h dans R^n, tu as forcément que
$Ah = \lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(x+th}-f(x)}{t}$ avec t réél...

Enfin, si f va de R^n dans R, alors f(x+h) - f(x) =Ah + o(|h|), et du coup, A envoie R^n dans R. C'est donc un élément du dual de R^n, et il s'identifie à un vecteur, qu'on appelle gradient de f en x. Enfin, on vérifie (par exemple en prenant successivement h = e1, e2,...,en) que A est en fait le vecteur $(\partial_1 f,..., \partial_n f)$ .

Bon, j'espère que j'ai éclairci un peu tes questions.

A ton service pour de plus amples détails,

__
rvz

Lévesque · 27/03/2006 - 12h55

J'avais écrit: Cependant, j'ai la vague impression que l'opérateur A est le gradient de $x(\xi)$ (donc dans $R^n$ ). Aussi, je croyais que $h$ était élément de $R^n$ , $h=(h_1,...,h_n)$ et que quand on faisait tendre h vers zéro, on faisant tendre simultanément chacune des composantes vers zéro.

En fait, si on fait comme je viens de décrire, c'est comme si on avait n égalités (1) à vérifier, une pour chaque composante (remplace $h$ par $h_i$ et $x$ par $x_i$ , $i=1,...,n$ ).

Mais peut-être que je fais erreur. Aussi, les $f^i$ vont de $R^n$ vers R.

Selon toi, faire la dérivée de chaque composantes de $x_i(\xi)$ par rapport à $\xi_i$ et montrer que la fonction qui en résulte est continue sur tout le domaine ne constitue pas une dé monstration de la différentiabilité de $x$ ?

Merci beaucoup pour l'aide,

Simon

Lévesque · 27/03/2006 - 14h36

Bon, mon Kobayashi - Nomizu me dit qu'un vecteur v est différentiable, par définition, si chaque composant est différentiable. Je n'ai qu'à montrer que la limite existe (la limide ordinaire dans R) pour chaque composante, et je crois bien avoir démontrer la différentiabilité... c'est tout simple, mais le physicien dérive plus vite qu'il montre que c'est dérivable...

S'il y a des objections, vous seriez gentil de les partager...

Simon

rvz · 27/03/2006 - 17h08

Exactement, tu dois démontrer que pour tout i, la j-ième composante est différentiable. C'est-à-dire qu'il ne faut surtout pas se limiter à calculer la dérivée i-ème de la i-ème coordonnée, ce que tu avais l'air de sous entendre.

__
rvz

Lévesque · 27/03/2006 - 18h06

Mais la limite est déplaisante à faire. Je ne pourrais pas seulement dériver la fonction selon les règles usuelles, et être content d'avoir une fonction continue sur tout le domaine?

Il n'y a pas un théorème en lien avec ça, j'aimerais beaucoup avoir quelque chose du genre : si la dérivée d'une fonction est continue sur tout le domaine, alors la dérivée existe en tout points de ce domaine...

Lévesque · 27/03/2006 - 18h08

Envoyé par rvz

ce que tu avais l'air de sous entendre

t'inquiète, c'était seulement un air, j'aurais jamais fait ça!

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