[exo] TS équation différentielle

[Anelor4488]

Bonjour à tous! J'ai un petit exercice à faire, sous forme de problème, sur les équations différentielles, et en fait je n'ai pu suivre qu'une heure de cours sur ce sujet (car après j'étais absente) donc je n'ai pas très bien compris, et j'aimerais réussir cet exercice afin de comprendre.
Voici l'exercice :
"Un corps dont la température initiale h0 (j'ai mis "h" car je ne sais pas comment représenter la lettre "têta") est 30°C est placé dans une ambiance dont la température T est constante. La température de ce corps est une fonction du temps : h : t -> h(t).
Une loi de physique (Newton) énonce que la dérivée de h est proportionnelle à la différence entre la température ambiante et la température du corps.
On a donc : dh/dt = k[T - h(t)] où k est le coefficient de proportionnalité fixé par la nature, la forme, la taille,... du corps.
On prend k = 0,1 et h0 = 30°C, la température pour t = 0.
Le temps est exprimé en minutes, les températures en degrés Celsius.
1 ) Exprimer cette loi à l'aide d'une équation diférentielle en précisant les conditions initiales.
2 ) Dans cette question, T, la température ambiante, est 100°C.
a) Déterminer h, la solution de cette équationb différentielle.
b) Calculer la limite de h quand t tend vers +00 et interpréter ce résultat.
3) Représenter les courbes d'évolution de la température en fonction du temps pour : T = 100°C, T = 30°C et T = - 10°C."

[Anelor4488]

Voilà le travail que j’ai commencé à faire :
1) Selon mon cours, Y’ = aY, donc pour moi ici, la loi reste la même : dh/dt = a [T-h(t)] avec k E R. Et les conditions initiales seraient f(xo) = yo, soit, f(0) = 30.
Je ne pense pas que ce que j’ai fait soit bon, ça me paraitrait trop simple…
2) a) Selon mon cours (encore une fois !), l’équation Y’ = aY admet une unique solution telle que f(xo) = yo et les fonctions solutions sont de la forme f(x) = ke(ax)
Et là je bloque totalement, sachant que ma réponse à la 1ère question est totalement fausse !
S’il vous plaît, aidez moi si vous le pouvez, ce serait vraiment gentil de votre part.

[Odie]

Je ne pense pas que ce que j’ai fait soit bon, ça me paraitrait trop simple…

Pourquoi?
Ne doute pas de toi comme ça... ce que tu as fait est JUSTE. En effet, l'énoncé donne directement l'équa diff recherchée. Tu peux arranger un peu l'expression pour que ça ressemble à celle de ton cours :

Y(t) = T-h(t)
et donc Y'(t) = aY(t) avec a = -k et Y(0) = T-h₀

La question 2 devient alors extrêmement facile, tu n'as plus qu'à appliquer la formule du cours.

[Anelor4488]

Je ne comprend pas pourquoi on prend a = -k, c'est le "-" que je ne comprend pas...
Merci quand même pour cette piste!!!

[Odie]

La loi donnée dans l'énoncé est : dh/dt = k(T-h)

Pour te ramener à la forme de ton cours, il faudrait que l'expression soit : d(T-h)/dt = a(T-h)
Or, c'est presque ça car d(T-h)/dt = -dh/dt (puisque T est une constante), donc a = -k.

Tu résous ensuite en : T-h(t) = Ae^-kt

[Anelor4488]

Ca m'énerve je n'y comprend vraiment rien... Ca ne me parait pas simple du tout à moi...
Pour la question 2, la formule du cours est f(x) = ke(ax)
d'où f(x) = ke(-kx)
on veut f(0) = T-h0 soit ke(-k*0) = T-h0
ke(0) = T-h0
k = T-h0
k = 100 -30 = 70
donc la solution est f(x) = 70e(-0,1x)
or ce résultat n'est pas bon, on veut h, et pas f(x)...

[Odie]

Mais enfin Anelor!
La fonction f est un nom arbitraire donnée à la solution dans le cours. Rien ne s'appelle f dans ton exercice.

Reprenons, si tu tiens vraiment à utiliser f :

On pose f(t) = T-h(t)
f vérifie l'équation différentielle : Y' = -kY avec f(0) = T - h₀
La solution est donc f(t) = Ae^-kt

Ton calcul de la constante est bon, on a : A = T-h₀

Au final : T-h(t) = (T-h₀)e^-kt
soit : h(t) = T-(T-h₀)e^-kt

[Anelor4488]

ok...
donc on obtient h(t)=100-70e^-0,01t
si c'est ça merci beaucoup, je vais essayer de m'avancer dans la suite de l'exercice.

[Odie]

Yes!

(dans l'exponentielle, c'est 0,1 mais je suppose que c'est juste une faute de frappe )

[Anelor4488]

Oui oui c'est juste une faute de frappe