Convergence

Manolack · 26/10/2005 - 19h23

Le but est de trouver une condition nécessaire et suffisante sur A pour que la suite de terme général Un converge.

Un=(1+A/n)^n²

Il faut d'abord vérifier certaines conditions.
en tout premier, la limite a l'infini de Un doit être nulle.

il n'y a rien d'évident donc j'ai essayé de transformer l'expression comme ceci:

Un=exp[n².ln (1+A/n)]

Ainsi on peut étudier n².ln(1+A/n)
Ainsi on voit que si A<0 ln(1+A/n)<ln1=0
Le problème c'est que j'ai une expression du type l'infini * 0 et je ne peux pas conclure. Il y a un théorème des croissances comparés qui dit que ca doit tendre vers - l'infini ?
Si vous pouviez m'aider pour la suite c'est pas forcement de refus ^^
Mici.

robert et ses amis · 26/10/2005 - 19h43

salut,

moi je ferais un petit changement de variable du genre $\epsilon=\frac{1}{n}$ pour pouvoir faire un beau DL en zéro de
$\frac{ln(1+A.\epsilon)}{\epsil on^2}$
et ensuite trouver la limite de l'exposant.

robert et ses amis · 26/10/2005 - 19h47

petit problème avec latex

il faut lire : $\frac{ln(1+A.\epsilon)}{ \epsilon ^2}$

nebben · 26/10/2005 - 20h42

Pour la convergence de Un vers 0, un équivalent semble suffisant et amène bien à la condition A<0...
Ensuite, je suppose que tu veux étudier la convergence de la série de terme général Un...
En considérant donc A<0, la règle de Gauss ( $\sqrt[n]{Un}$ ) semble fonctionner...