Récurrence

Amanda83 · 10/10/2011 - 17h08

Bonjour,

depuis ce matin je me casse la tête sur une récurrence. La propriété a démontré utilise les séries entières.
Voici la question: Soit v un entier naturel non nul, montrer par récurrence la propriété:
P(v): $\forall z \in C, |z|<1, \frac{1}{(1-z)^v}=\sum_{n=0}^{+\infty} \begin{pmatrix}v-1+n\\n\end{pmatrix}z^n$

Alors je suis partie de la partie gauche (pour 1 c'est bon évidemment

)
$\frac{1}{(1-z)^{v+1}}=\frac{1}{(1-z)} \frac{1}{(1-z)^v}$
j'ai remplacé par la série entière et la récurrence et j'ai utilisé la propriété sur le produit des séries entières.
J'obtiens:
$\frac{1}{(1-z)^{v+1}}=\sum_{n=0}^{+\infty} (\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}v-k+n\\n-k\end{pmatrix})z^n$

J'en déduis, que je dois prouver que $\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}v-k+n\\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v+n\\n\end{pmatrix}$
C'est la dessus que je rame, peut-être me manque t-il une propriété des combinaisons.
Merci de votre aide

Amanda

God's Breath · 10/10/2011 - 17h29

Bonjour,

Et si tu essayais de passer de $\frac{1}{(1-z)^v}$ à $\frac{1}{(1-z)^{v+1}}$ par dérivation ?

Amanda83 · 10/10/2011 - 17h44

Merci beaucoup de m'avoir débloquée!!!!!
Tout fonctionne très bien par dérivation.
Encore merci.

Amanda

Amanda83 · 11/10/2011 - 13h18

Re bonjour,

toujours bloquée sur ce maudit devoir,
on me demande de montrer que la série $\sum_{n\ge 0}s_n$ converge.
j'ai montré que $\sum_{p\ge 0}|u_{n,p}|$ converge.
on note $s_n=\sum_{p=0}^{+\infty}|u_{n, p}|$ et $u_{n,p}=(-1)^n \frac{a_{n,p}}{n!}z^p$
et $a_{n,p}=\begin{pmatrix}n-1\\n-v\end{pmatrix}$ .
J'ai trouvé les $a_{n,p}$ en développant en série $(\frac{z}{1-z})^v$ .
je suis un peu embêter pour montrer qu'une somme de somme converge (ce n'est surement que psychologique!).
Merci de votre aide.

Amanda

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