cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 9 sur 9

cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure



  1. #1
    invite201f4c83

    cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure


    ------

    Bonjour,
    Voici un exercice: Soit E={cos/n, n∈IN*}. Calculer inf E et sup E. J'arrive à trouver inf E=0 par intuition. J'ai aussi fait ça:

    -1≤cos(n)≤1
    -1/n≤cos(n)/n≤1 ,car n∈IN*

    or lim -1/n = lim 1/n = 0 .
    (n—>∞) (n—>∞)

    Donc, d'après le théorème des gendarmes, lim cos(n)/n=0
    (n—>∞)

    Cela permet-il de conclure que 0 est la borne inférieure de E ? et pour la borne sup ? Quelqu'un a une idée ? Je serai ravi d'avoir de l'aide.
    Cordialement.

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    Bonjour,

    Il me semble que cos(2)/2 appartient à E et est strictement négatif: la borne inférieure de E ne serait donc pas 0.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    invite201f4c83

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    En effet. Comme -1/n ≤ cosn/n ≤ 1/n, on a un majorant et un minorant, et -1 est le plus grand des minorants. donc inf(E) = -1.

  4. #4
    Tryss

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    Heu... non, -1 n'est pas le plus grand des minorants.

    -1/2 est aussi un minorant de E, mais -1/2> -1

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite201f4c83

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    quand je calcule les premiers termes, cela ne me convainc pas. je suis dans le brouillard là.

  7. #6
    Tryss

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    cos(1)/1 = 0.5403
    cos(2)/2 = -0.2081
    cos(3)/3 = -0.33
    cos(4)/4 = -0.1634

    Comme -1/n < cos(n)/n < 1/n, alors pour tout n > 4 on a -1/4 < cos(n)/n < 1/4

    Or cos(3)/3 < -1/4 < cos(n)/n < 1/4 < cos(1)/1, et ce pour tout n > 4

    On a donc Inf(E) = cos(3)/3 et Sup(E) = cos(1)/1

    Bon, c'est assez peu élégant d'énumérer les cas, mais ici ça marche bien.

  8. #7
    invite201f4c83

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    Là je vois bien. Mais on est obligé de calculer les premiers termes pour démontrer.

  9. #8
    invite54264ae5

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    y as certainement une autre méthode..... remarquer que cos (n)= cos(n+2pi . n)

  10. #9
    invitee27a8b07

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    Si quelqu'un trouve une méthode plus élégante que celle de Tryss, je lui tire mon chapeau

Discussions similaires

  1. Borne superieure
    Par invitef3c03449 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 28/03/2011, 20h11
  2. Borne Supérieure, Borne Inférieure
    Par inviteb9f4eaf7 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 20/12/2009, 20h53
  3. Borne supérieure
    Par invite33ae6c85 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 27/09/2008, 00h33
  4. borne superieure,borne inferieure
    Par invite1a0016c2 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 03/06/2008, 19h27
  5. sous groupe de (R,+), borne inférieure
    Par invite21126052 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 11
    Dernier message: 26/10/2005, 14h21