Relation vide et paradoxe
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Relation vide et paradoxe



  1. #1
    Polygone

    Relation vide et paradoxe


    ------

    Bonsoir à tous,

    Un question me tracasse :

    Soit V une relation définie par

    On peut donc dire que :
    De plus, V est une application. Donc V est surjective.

    De même, on peut dire que :
    Donc V n'est pas surjective (on aurait pu se contenter de pour montrer la non-surjectivité, mais cela n'est pas vrai)

    Que faire face à cette dualité surjective/non-surjective ?

    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    Médiat

    Re : Relation vide et paradoxe

    Bonjour,

    Votre définition de la "non-surjectivité" est fausse. Elle devrait commencer par
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    Polygone

    Re : Relation vide et paradoxe

    Oui effectivement je me suis trompé, je pensait que était une assertion plus forte que (ce n'est pas vrai dans le cas de l'ensemble vide).

    Mais même sans non-surjectivité, on arrive à une assertion troublante : pour tout y dans l'ensemble vide, il existe et il n'existe pas de x dans l'ensemble vide tel que xRy

  4. #4
    Médiat

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par Polygone Voir le message
    Mais même sans non-surjectivité, on arrive à une assertion troublante : pour tout y dans l'ensemble vide, il existe et il n'existe pas de x dans l'ensemble vide tel que xRy
    Tout vient de ce que j'ai mis en gras.

    Si votre main est vide vous pouvez dire "Tous les crayons que je tiens sont verts", ou "Tous les crayons que je tiens sont bleus" et les deux phrases sont vraies (si quelqu'un doute, demandez lui d'exhiber un contre-exemple).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite4492c379

    Re : Relation vide et paradoxe

    La définition d'une relation n'impose-t-telle pas que les ensembles de départ et d'ariivée soient non vide ?

  7. #6
    Polygone

    Re : Relation vide et paradoxe

    Cela parait logique, mais ce n'est pas en désaccord avec le principe de non-contradiction ?

  8. #7
    invite4492c379

    Re : Relation vide et paradoxe

    Je ne comprends pas

  9. #8
    Médiat

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    La définition d'une relation n'impose-t-telle pas que les ensembles de départ et d'ariivée soient non vide ?
    Non, d'ailleurs , non ?

    Citation Envoyé par Polygone Voir le message
    Cela parait logique, mais ce n'est pas en désaccord avec le principe de non-contradiction ?
    Pas du tout, il faudrait que vous ayez quelque chose de la forme , ce qui n'est pas le cas, même dans l'exemple de la main vide et avec les phrases "Tous les crayons que je tiens sont verts" et "Tous les crayons que je tiens sont non-verts".
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  10. #9
    invite4492c379

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Non, d'ailleurs , non ?

    (...)
    Je croyais qu était une convention ...

  11. #10
    Polygone

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    Je ne comprends pas
    Pardon je m'adressais à Médiat.
    Et pour te répondre, si j'en crois mes cours de maths, une relation est un triplet (E, F, G) avec E et F ensembles quelconques et G une partie de ExF

  12. #11
    invite4492c379

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par Polygone Voir le message
    Pardon je m'adressais à Médiat.
    Et pour te répondre, si j'en crois mes cours de maths, une relation est un triplet (E, F, G) avec E et F ensembles quelconques et G une partie de ExF
    De souvenir E et F devaient être non vides ... je dois me tromper alors.

  13. #12
    Polygone

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pas du tout, il faudrait que vous ayez quelque chose de la forme , ce qui n'est pas le cas, même dans l'exemple de la main vide et avec les phrases "Tous les crayons que je tiens sont verts" et "Tous les crayons que je tiens sont non-verts".
    Soit p la proposition :
    On a alors :

    Où me trompé-je ?

  14. #13
    Médiat

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par Polygone Voir le message
    Soit p la proposition :
    On a alors :

    Où me trompé-je ?
    est une formule fausse.
    est une formule vraie.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #14
    invite986312212
    Invité

    Re : Relation vide et paradoxe

    c'est que "(pour tout y) (p et non-p)" est équivalent à "(pour tout y p) et (pour tout y non-p)" mais pas à "(pour tout y p) et non-(pour tout y p)"

  16. #15
    Médiat

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    Je croyais qu était une convention ...
    Pas toujours, regardez là : http://forums.futura-sciences.com/ma...nir-0-0-a.html, en particulier le chapitre 3.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  17. #16
    S321

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par Polygone Voir le message
    On a alors :

    Où me trompé-je ?
    Eh bien cette proposition est vraie. Je te mets au défi de trouver un seul y appartenant à l'ensemble vide ne vérifiant pas .

    Citation Envoyé par photon57
    De souvenir E et F devaient être non vides ... je dois me tromper alors.
    Malheureusement beaucoup d'enseignants ne veulent pas s'embêter avec des cas triviaux et ont la fâcheuse manie de supposer à peu près tout le temps que les ensembles qu'ils utilisent ne sont pas vides.
    Il n'y a absolument aucune raison de se restreindre au cas de E et F non vide dans la définition des fonctions, le cas où tout est vide est trivial mais pas aberrant.
    Et en effet cette fonction est bijective.

    Elle est surjective parce que
    mais sa non-surjectivité serait et ça c'est faux car il n'existe pas de y dans vide pour pouvoir vérifier une telle proposition.
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  18. #17
    Polygone

    Re : Relation vide et paradoxe

    Merci de vos explications, mais un doute subsiste :

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    c'est que "(pour tout y) (p et non-p)" est équivalent à "(pour tout y p) et (pour tout y non-p)" mais pas à "(pour tout y p) et non-(pour tout y p)"
    C'est bien ce que j'ai voulu montrer avec :

    et

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    est une formule fausse.
    Cette formule n'est plus fausse si on y place le quantificateur devant, non ?

  19. #18
    invite4492c379

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pas toujours, regardez là : http://forums.futura-sciences.com/ma...nir-0-0-a.html, en particulier le chapitre 3.
    Ouf ... j'ai eu peur d'avoir oublié une partie des math si lointaines déjà

    cette convention ne s'applique pas pour x^y, x et y réels ou complexes. Il s'agit bien d'un problème lié à la définition et «ce qu'on trouve le plus naturel» comme prolongement. Un paradoxe identique apparaît pour :



    Tout dépend jusqu'où on veut aller.

  20. #19
    Polygone

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par S321 Voir le message
    Eh bien cette proposition est vraie. Je te mets au défi de trouver un seul y appartenant à l'ensemble vide ne vérifiant pas .
    Voilà où je voulais en venir, on peut donc dire que pour tout y dans l'ensemble vide, le principe de non-contradiction n'est pas vérifié ?

  21. #20
    Médiat

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par photon57 Voir le message
    Ouf ... j'ai eu peur d'avoir oublié une partie des math si lointaines déjà

    cette convention ne s'applique pas pour x^y, x et y réels ou complexes. Il s'agit bien d'un problème lié à la définition et «ce qu'on trouve le plus naturel» comme prolongement. Un paradoxe identique apparaît pour :



    Tout dépend jusqu'où on veut aller.
    N'empèche que pour le cas qui nous intéresse, le nombre d'application de E dans F, n'est pas une convention, mais le résultat d'un calcul !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #21
    invite4492c379

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    N'empèche que pour le cas qui nous intéresse, le nombre d'application de E dans F, n'est pas une convention, mais le résultat d'un calcul !
    Qui n'est pas généralisable pour toutes les «définitions» de l'exponentiation. À moins de me tromper lourdement, 0⁰ n'a pas de sens dans les réels, non ?

  23. #22
    S321

    Re : Relation vide et paradoxe

    Citation Envoyé par Polygone Voir le message
    C'est bien ce que j'ai voulu montrer avec :

    et
    Les deux propriétés sont vraies c'est indéniables. En revanche la deuxième n'est pas la négation de la première. La négation de la première serait : ou encore et cette propriété est belle et bien fausse.

    De même l'application vide est bien surjective mais elle n'est pas "non-surjective", il n'y a aucune contradiction ici. On ne se retrouve jamais avec une relation simultanément vraie et fausse.

    Même dans le cas où on dit que pour tout y dans l'ensemble vide le principe de non contradiction n'est pas vérifiée. Pourtant le principe de non contradiction est vrai, mais on ne se retrouve jamais avec la proposition contradictoire car on ne se retrouve jamais avec un y dans l'ensemble vide.
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  24. #23
    Polygone

    Re : Relation vide et paradoxe

    D'accord je comprend, finalement, la contradiction (p et non p) ne se réalise jamais car elle est vraie pour tout y de l'ensemble vide (jamais en somme).
    Cela aurait été plus problématique si la contradiction ne dépendait pas de y (par exemple si la fonction était a la fois surjective et non-surjective) mais ce n'est pas le cas.

    Merci pour toutes vos réponses !

  25. #24
    soulscryer

    Re : Relation vide et paradoxe

    Je me questionne sur la possibilité de résoudre les paradoxes en y intégrant un ou plusieurs facteurs de nature cyclique.
    J'ai créé un sujet à cet effet : Relation entre paradoxe et cycle ?

    Cordialement

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