Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

[Bleyblue]

Bonjour,

Nous avons reçu comme définition au cours :

"Un sous ensemble de IR est ouvert s'il ne comprend aucun point de son bord, fermé s'il contient entièrement son bord"

Pourriez-vous m'expliquez comment il se fait que l'ensemble vide est à la fois ouvert et fermé ?

Déja j'ai du mal à déterminer le bord de cet ensemble.
C'est quoi donc d'après vous ? IR tout entier (étant donné que tout sous ensemble contient ...) ?

merci

[GuYem]

Salut.

Le bord du vide c'est le vide.
Toutes les définitions "alternatives" des ouverts et fermés devraient dire explicitement que le vide et la partie entière sont à la fois ouvertes et fermées ; pour éviter ce genre de questions que tu te poses et qui sont bien légitimes.

pour faire les choses rigoureusement ici il faudrait déjà savoir quelle définition on t'as donnée du bord! Parce que normalement le bord c'est la fermeture moins l'intérieur... on tourne en rond.

[Quinto]

Je trouve que c'est foireux comme définition, parce qu'il faut savoir ce que c'est que le bord, et c'est encore moins trivial de définir le bord que les ouverts et les fermés...

[GuYem]

+1 avec toi Quinto.

je crois sérieusement que les enseignants qui doivent faire de la topo en premier cycle doivent être bien em****és par l'abstraction de la chose et ne savent pas trop comment faire pour aborder ça de manière claire. D'où la cinquantiane de définition plus ou moins équivalentes qu'on rencontre par-ci par-là et qui déroutent certainement...

[doryphore]

Je pense que celui qui a choisi cette définition définit les intervalles de R comme étant l'ensemble des x compris entre a et b deux réels avec a<b.
Donc il n'y a pas d'incompatibilité mathématique. J'ai en revanche toujours critiqué cette définition quand je préparais le CAPES car elle ne colle pas à la définition de connexité dans R et le fait que Bleyblue ait été perturbé prouve bien qu'elle n'a aucn intérêt pédagogique comme je n'avait céssé de le dire !!!

[GuYem]

C'est quoi le problème avec la connexité ici Doryphore?

Le pauvre blue qui va voir que sa définition est litigieuse va s'en arracher les cheveux. Courage Blue!

[doryphore]

Simplement que l'ensemble des intervalles de R est strictement inclus dans l'ensemble des parties connexes, il ne manque que le pauvre ensemble vide perdu tout seul dans la nature et le pauvre singleton, je l'avais oublié, celui-là...

[doryphore]

Je m'aperçoit que j'ai dévié du sujet, là...

[matthias]

En tout cas je crois que tout le monde est d'accord pour trouver cette définition foireuse
En plus je trouve assez dangereux d'aborder la topologie en se restreignant à R qui a beaucoup trop de propriétés que l'on risque de vouloir étendre aux autres ensembles ensuite. On prend aussi le risque de donner des définitions qui ne sont valables que dans R. Alors que c'est toute la beauté de la topologie, de partir des hypothèses minimales pour bien faire ressortir les mécanismes qui lient les différents concepts.

Question pour Bleyblue: comment votre prof vous a-t'il défini le bord d'une partie de R ?

[GuYem]

Tu as raison Matthias c'est bète de commencer par R. Cependant imagine-toi en premier cycle, tu n'as travaillé que sur R ou sur C et on te lance la topologie générale à la tête... Pas évident. Et pourtant la topologie est indispensable à pleins de choses qu'on voit avant de voir la vraie topologie.
Enfin bref, pas facile tout ça.

[matthias]

Oui, mais pourquoi ne pas commencer directement dans Rⁿ ? Au moins on n'a pas d'intervalles, la notion de boule ouverte reste très intuitive, et on est pas tenté de donner des définitions bizarres qui ne s'appliqueront plus quand on passe aux espaces métriques en général (je ne parle pas de topologie pure). Un des seuls problèmes qui restent avec Rⁿ est que les compacts sont exactement les fermés bornés (pas mal de gens ont du mal à se sortir ça de la tête d'ailleurs).

[Quinto]

Salut,
même R^n n'est pas indispensable, une fois que l'on a vu R^2, on a presque tout vu (petit problème évidemment pour la simple connexité, le plan moins une droite est disconnexe, l'espace moins une droite est uniquement multiplement connexe (ie non simplement connexe), exemple important à visualiser)

Un des seuls problèmes qui restent avec Rⁿ est que les compacts sont exactement les fermés bornés (pas mal de gens ont du mal à se sortir ça de la tête d'ailleurs).

Surtout que c'est assez simple finalement de voir que c'est faux en dimension infinie.

[matthias]

Oui c'est vrai que R² suffit à la limite.
Pour les fermés bornés non compacts, on peut évidemment penser au théorème de Riesz, mais en ce cas il faut au minimum faire de la topo sur les espaces vectoriels normés de manière générale et plus sur Rⁿ.
Comme ça ne présente pas plus de difficulté, autant commencer directement sur des ev normés quelconques donc

[Bleyblue]

Je trouve que c'est foireux comme définition, parce qu'il faut savoir ce que c'est que le bord,

+1 avec toi Quinto.

je crois sérieusement que les enseignants qui doivent faire de la topo en premier cycle doivent être bien em****és par l'abstraction de la chose et ne savent pas trop comment faire pour aborder ça de manière claire. D'où la cinquantiane de définition plus ou moins équivalentes qu'on rencontre par-ci par-là et qui déroutent certainement...

En fait on nous a bien entendut dabord définit le bord (avant de nous donner une définition qui le fait intervenir ça vaut mieux )

Sinon merci pour toutes vos réponses, je vais lire tout ça

[Quinto]

Oui mais on est tous impatient de savoir ce 'est cette fameuse définition du bord justement.
A+