Matrice nilpotente et transposé.
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 13 sur 13

Matrice nilpotente et transposé.



  1. #1
    invitedcf42569

    Matrice nilpotente et transposé.


    ------

    Bonsoir,
    J'ai un exercice sur une matrice A nilpotente d'indice n tel que transposée(A)*A=A*transposée(A ) et il faut montrer que A=0.
    Je ne vois pas trop comment partir?
    Je n'arrive pas à grand chose d'interessant :/
    Je pense qu'il faudrait partir de (transposée(A)*A)^n Mais je n'en tire rien de bon si ce n'est que (transposée(A)*A)^n =0
    Quelqu'un aurait un indice, une piste pour démarrer?
    Merci bien

    -----

  2. #2
    Tiky

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    Bonsoir,

    Je suppose même si tu ne l'as pas précisé que tu travailles dans un espace vectoriel réel.
    Si tu sais ce qu'est un endomorphisme normal, le résultat est immédiat.
    Sinon tu peux procéder ainsi :

    - est une matrice symétrique réelle. Elle est donc diagonalisable.

    - Tu as montré que . Quelles sont les matrices diagonalisables et nilpotentes ?

  3. #3
    invite2b14cd41

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    L'indication de Tiky permet de déduire que .
    Après on remarque que les termes diagonaux de sont les donc .
    Ou bien, ce qui revient au même , mais de façon plus élégante, on a que donc , où est la norme associée au produit scalaire sur :

  4. #4
    invitedcf42569

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    En effet, seul les matrices nul convienne dans le cors des réels. Merci,
    Mais de que résultat parle tu quand tu dis que c'est immédiat?
    J'ai beau chercher dans mon cours, je vois pas quel propriété me permettrai de conclure immédiatement?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite2b14cd41

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    Tiky me semble avoir parlé un peu vite. S'il est vrai qu'en endomorphisme normal d'un C-ev est diagonalisable sur C, ce n'est pas forcément vrai sur un R-ev (prendre une rotation d'angle non multiple de pi, elle n'est pas diagonalisable sur R)

  7. #6
    invitedcf42569

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    Merci beaucoup pour "l'astuce" de prendre les termes diagonales de B!

  8. #7
    Tiky

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    Et alors ? Je n'ai jamais dit qu'il fallait la diagonaliser dans R. Il suffit de la diagonaliser dans C. Dans déduire qu'elle est semblable à une matrice nulle dans C. Or si deux matrices réelles sont semblables avec une matrice de passage dans C, elles le sont dans R.

  9. #8
    Tiky

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    Le dernier argument est même inutile. Il suffit juste de la diagonaliser dans C.

  10. #9
    invite2b14cd41

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    Vous avez raison. Désolé d'avoir mal compris votre message initial.

  11. #10
    invite2b14cd41

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    @Danduncan : Ce n'est pas une astuce... Je t'ai expliqué d'où cela vient: du produit scalaire (A|B)=Tr(tAB) !
    Il est important de comprendre d'où cela vient, les maths ne sont pas juste un ensemble d'astuces.

  12. #11
    invitedcf42569

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    Une dernière petite question, on peut passer par un autre argument que de dire qu'une matrice symétrique est diagonalisable?
    Je demande car on a pas vu cette proposition en cours.

  13. #12
    invite2b14cd41

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    Attention, cela n'est vrai que sur R ! Quel est l'énoncé complet? Si tu te places sur C, tu peux par exemple montrer que la seule valeur de A est 0.

  14. #13
    invitedcf42569

    Re : Matrice nilpotente et transposé.

    C'est sur R

Discussions similaires

  1. Matrice nilpotente
    Par invite2bc7eda7 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 03/10/2010, 11h48
  2. ex sur matrice nilpotente
    Par chloé* dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 03/06/2010, 17h49
  3. Matrice nilpotente
    Par Thoy dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 28/03/2010, 15h11
  4. Un problème de matrice nilpotente
    Par invite480b28cd dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 8
    Dernier message: 23/09/2007, 18h23
  5. Valeurs propres et matrice nilpotente
    Par invite9f42f3b4 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 30/03/2007, 21h30