théorème de Rolle
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 8 sur 8

théorème de Rolle



  1. #1
    farenheit37

    théorème de Rolle


    ------

    en raisonnent par l'absurde et grâce au théorème de Rolle, je doit démontrer que e^x=1-x admet une unique solution

    j'ai posé e^x-1-x=0 et je dis que celà est mon g'(x)
    ainsi j'intégre, g(x)=e^x+1/2x^2-x+cst
    je calcule la lim en + et - infini qu'ils sont égaux à +oo
    je remarque que les 2 lim sont égales, houra -> théorème de rolle, il existe un c tq g'(c)=0
    je suppose qu'il existe c et d appartenant à R => f'(c)=f'(d)=0 c différant de d
    c=> e^x+x-1=0 admet plusieurs sol?
    e^c+c-1=e^d+d-1
    au final pour faire cour ln(e^c-e^d)=ln(d-c)
    c/d = ln d/ lnc
    c =d ce qui est absurde
    bref je suis tout content sauf que...le prof passe et ma copie est au voisinage de 0--
    mais pourquoi, merci d'une aide

    -----

  2. #2
    Tiky

    Re : théorème de Rolle

    Bonjour,

    Le théorème de Rolle s'applique sur un segment. Tu ne peux l'appliquer sur R tout entier.
    L'énoncé tel que je le connais :
    Soit f une fonction dérivable sur telle que .
    Alors il existe un tel que .

    Essaye de démontrer cet énoncé, tu verras que le fait de travailler sur un intervalle fermé et borné est capital.

    Pour ton exercice, tu poses .
    Supposons que l'équation admet deux solutions distinctes .
    Alors . Tu appliques le théorème de Rolle sur le segment à la fonction g.

  3. #3
    Snowey

    Re : théorème de Rolle

    Plus naturellement, tu peux supposer qu'il y a deux solutions à et b distinctes (dont une est évidente: x=0) En notant f(x)= exp(x)-x-1, on a f(a)=f(b)=0, f continue, dérivable ... Donc on peut appliquer Rolle: il existe c entre a et b strictement (et donc different de 0) tq f'(c)=0, soit exp(c)-1=0.
    Comme exp est injective, si exp(y)=exp(0)=1 alors y=0. Donc c=0, ce qui est impossible d'après Rolle ( c différent des 0, donc de 1)
    Contradiction !
    Dernière modification par Snowey ; 25/02/2012 à 19h06.
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  4. #4
    Tiky

    Re : théorème de Rolle

    Pour autant l'assertion suivante est juste mais elle nécessite une démonstration (qui utilise le lemme de Rolle) :
    Soit f dérivable sur R tel que et existent (pas nécessairement fini) et . Alors il existe un tel que .
    Dernière modification par Tiky ; 25/02/2012 à 19h05.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Tiky

    Re : théorème de Rolle

    Citation Envoyé par Snowey Voir le message
    Plus naturellement, tu peux supposer qu'il y a deux solutions à et b distinctes (dont une est évidente: x=0) En notant f(x)= exp(x)-x-1, on a f(a)=f(b)=0, f continue, dérivable ... Donc on peut appliquer Rolle: il existe c entre a et b strictement (et donc different de 0) tq f'(c)=0, soit exp(c)-1=0.
    Comme exp est injective, exp(y)=1 ssi y=0. Donc c=0, ce qui est impossible d'après Rolle.
    Contradiction !
    Attention son équation est exp(x) = 1-x et non exp(x) = 1+x.

  7. #6
    Tiky

    Re : théorème de Rolle

    Bon en fait dans son message les deux équations apparaissent...

  8. #7
    God's Breath

    Re : théorème de Rolle

    Citation Envoyé par farenheit37 Voir le message
    je doit démontrer que e^x=1-x admet une unique solution

    j'ai posé e^x-1-x=0
    L''équation n'est plus la même au bout d'une ligne de calcul...

    Citation Envoyé par farenheit37 Voir le message
    au final pour faire cour ln(e^c-e^d)=ln(d-c)
    c/d = ln d/ lnc
    Cette dernière équation ne me paraît pas découler immédiatement de la précédente.

    Citation Envoyé par farenheit37 Voir le message
    le prof passe et ma copie est au voisinage de 0--
    mais pourquoi
    Parce que la plupart des arguments proposés ne sont pas valides...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  9. #8
    farenheit37

    Re : théorème de Rolle

    ok merci je suis sur la voie...je pense

Discussions similaires

  1. Théorème de rolle
    Par invite5eb0d6bb dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 21/01/2012, 21h22
  2. Théorème de rolle
    Par 369 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 29/12/2010, 14h49
  3. Théorème de Rolle
    Par invitea58fe746 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 27/04/2010, 21h23
  4. [TS+] Theorème de Rolle
    Par mx6 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 26
    Dernier message: 11/07/2009, 22h24
  5. theoreme de ROLLE
    Par invite319fe712 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 7
    Dernier message: 19/11/2008, 18h58