Devinette...

[juan]

Comment démontrer qu'il y a au moins autant de points dans le segment de lR :
]0;1[ que dans l'ouvert de lRxlR : ]0;1[x]0;1[ ?
Démonstration par construction !(pas de théorème,d'histoire de cardinaux,etc...)
Alors?
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[invitec12706a7]

Qu'il y en a "au moins autant" c'est trivial puisque on a la construction:

f: ]0,1[ -> ]0,1[x]0,1[ avec f(x) = (x,a) pour un a € ]0,1[ fixé qui est bien évidement injective.

[invite778609db]

Cette figure démontre qu'il y a autant de point sur les segments [AB] et [CD] car pour tout point de [AB] correspond un point sur [CD] (doite qui passe par E)

je sais pas si je l'explique tres bien et si ca te sert ...
J'espere que ca te donne une idée

[/url]

[invitec12706a7]

c'est facile de trouver des bijections entre n'importe quel intervalle et R...
Mais son problème concerne une bijection entre un intervalle et un carré en fait.

[A voir en vidéo sur Futura]

[juan]

jedeki-> tu n'aurais pas montré l'inclusion inverse de celle que je propose?
john-> je pige ta construction pour montrer que le cardinal d'un segment de lR est égal à celui de lR (aleph en hébreu je crois,mais pas la touche sur le clavier ),mais pour la transcrire de lR vers lRxlR , je vois pas...

PS : je connais la construction en question (qui sauf erreur est bonne ! )

[invitec12706a7]

euh... oui... il était un peu tard apparemment...

mais je ne vois pas comment trouver la construction... un indice ?

[juan]

salut genepi!(oups)
il faut trouver le moyen de faire correspondre à tout point du carré un unique point du segment...
pas vraiment un indice,si?

[juan]

...la solution demain!

[juan]

Bonsoir !
bon,pour la soluce à laquelle je pensais :
il faut réussir à associer à chaque point du carré un unique point du segment(une injection),de sorte que deux points du carré ne peuvent avoir la même "image" dans le segment...
Construction :
prenons un point du carré,par exemple (1/3,2/3),mais ici c'est l'écriture :
(0.3333....,0.66666..) que nous utilisons;il suffit d'associer à ce point le point 0.3636363636... du segment!
on voit ainsi clairement que ce point ne peut avoir qu'un seul antécédent dans le carré et qu'un point du segment peut être associé à chaque point du carré...
il y a donc au moins autant de points dans le segment que le dans le carré
CQFD

bon,c'est un truc que j'avais vu un jour et je pense qu'il n'y a pas d'erreur...sinon signalez-le afin d'affiner le truc...je pense par exemple au fait que si on a un rationnel et un irrationnel comme coordonnées,il faut prendre comme convention,par exemple : 0.5=0.50000000....
pour que ca marche...
@+

[monnoliv]

Ha oui ? Et que deviennent les couples de |R² suivants:

(0.33333..... , 0.66666 .....) -> 0.36363636 (ça on sait)
(-0.33333..... , 0.66666 .....) -> ?
(0.33333..... , -0.66666 .....) -> ?
(-0.33333..... , -0.66666 .....) -> ?

Bàt,

[juan]

Salut monnoliv!
tu as lu le premier post?
@+

[monnoliv]

Ok, il s'agit des ouverts ]0,1[ et ]0,1[X]0,1[ .
Sorry,

[monnoliv]

Amusant de constater que la démonstration ne fonctionne pas avec les fermés [0,1] et [0,1]x[0,1] ni avec les ouverts ]-1/2,1/2[ et ]-1/2,1/2[x]-1/2,1/2[ ...
Le dernier point est inquiétant d'ailleurs, je me demande si cette démonstration est juste. Si oui, il faut en trouver une autre pour ce dernier cas.
Bàv,

[olle]

bah il suffit d'ajouter 1/2 aux deux nombres et de retirer 1/2 au nombre obtenu :/

-.2345 -> .2655
.3232 -> .8232

-> .28625352
-> -.21374648

non ?

[olle]

en fait de manière générale il suffit de ramener les ensembles sur ou sur une partie de ]0,1[ par des applications comme des homotécies ou des translations :/

[monnoliv]

bah il suffit d'ajouter 1/2 aux deux nombres et de retirer 1/2 au nombre obtenu :/

Oui, c'est un petit truc qui permet de se ramener au cas précédent.
Je trouvais intéressant d'observer pourquoi cela ne fonctionne pas "directement" avec ]-1/2,1/2[ et ]-1/2,1/2[x]-1/2,1/2[.

Bàt,