Problème fonction inconnue

[crtleroy]

Bonjour à tous,

Lors d'une ballade mathématique personnelle je me retrouve face à un problème que je ne sais résoudre : je dois trouver une ( ou plusieurs ) forme(s) de fonction qui saurait répondre à trois conditions.

f est définie telle que : - lim(0) f = 1

- lim(inf) f = 0

- a > b <=> b + a.f(b) > a + b.f(a) avec a et b >0

Les deux premières conditions amènent rapidement la fonction exp(-x), mais la troisième condition me semble assez contraignante. Sans doute ce problème a-t'il une infinité de solutions, j'aimerais trouver une forme, simplement, de cette fonction..

Merci d'avance pour votre aide !

[thepasboss]

Bonsoir,

sauf erreur de ma part, on peut réécrire l'inéquation sous la forme :



De là, si on fait tendre a vers l'infini, on obtient que pour tout b strictement positif :



ce qui entraine donc que f est supérieure ou égal à 1 sur R+. contradiction ^^.

[crtleroy]

Ooh mais ça me semble exact .
Cela dit, n'est-il pas possible que la forme de f implique que la limite soit différente de 0, exemple bidon : f(a)=1-a dans quel cas ton quotient tend vers -1 ?
Bien que cela ne colle pas avec les deux premières conditions bien sur, est-il vraiment inconcevable qu'une fonction en ce sens puisse respecter ces lois ?..

[thepasboss]

Et bien si tu supprime la condition sur la limite nulle en plus l'infini ça doit pouvoir fonctionner, mais la troisième condition est très contraignante.

Si par exemple on se restreint à ce que j'ai écrit, on a que la fonction doit être strictement croissante sur R+ car b/a est strictement plus grand que 1, donc on peut se ramener à f(b)>f(a). Dans le cas ou on oublie donc la condition en l'infini, une fonction qui marcherait serait x²+1 (et il y en a plein d'autres).

[crtleroy]

Hmm b/a est strictement plus petit que 1 en fait si je ne m'abuse ? a>b. Ce qui doit pouvoir expliquer que la fonction décroit je pense. Cela dit un grand merci pour ton aide, j'ai du mal à croire qu'aucune fonction ne puisse répondre à ça..

[thepasboss]

Oula oui, j'ai échangé le rôle de a et b en cours de travail, navré...

Donc effectivement, la fonction va décroitre. En effet, ce que l'inéquation nous dit, c'est que si je trace la droite qui va de du point (b,f(b)) au point (0,1) (appelons la D) et la droite d qui va de (a,f(a)) à (0,1), alors sur la partie des réels positifs, on va avoir que d est en dessous de D. Et c'est donc de là que vient le problème. Et d'ailleurs cela empêche f d'avoir une autre limite possible que - l'infini.

[crtleroy]

Ahmm oui, en effet... Soit, et bien je suppose que ma pauvre fonction n'est que le résultat d'une contradiction, je te remercie tout de même pour ton aide, je n'aurai plus à chercher en vain !
Un grand merci.

[thepasboss]

Bon, je commence à en avoir marre de raconter à moitié n'importe quoi...

Donc en reprenant ce que je viens de dire, on voit qu'en fait, ce qui compte c'est la tangente à la courbe de f en 0 (si il y en a une). En effet on peut avoir une courbe qui a une limite finie en - l'infini si celle ci à une tangente de pente strictement positive en 0 : par exemple si on prend la fonction arctengente, qui vérifie bien les propriétés 1 et 3, et qui a une limite finie en l'infini.

Par contre on peut à priori avoir une fonction qui aura une tangente en 0 de pente strictement positive, mais qui ira quand même vers -l'infini en l'infini... Et d'ailleurs si on va chercher dans le bizarre, on peut même mettre un truc genre logarithme qui aura en limite à l'infini...+ l'infini !

[crtleroy]

Aaah les mathématiques sont vraiment tordus. J'ai reformulé ma théorie pour m'épargner de cette fonction inconnument existente, mais je la garde en tête, sait on jamais.. Merci encore Passboss