convergence d'une série

Gumus07 · 15/04/2012 - 20h35

bonsoir à tous,
j'ai une petite question à vous poser..
je voudrais montrer que la série $\sum {|x_n|^2}$ est convergente avec $x_{n}=\sum_{k=0} ^{n} { \frac{1}{\lambda ^{n+1-k}} }. y_{k}$ . et la condition $\frac{1}{|\lambda |} <1$

Merci pour votre aide

Gumus07 · 15/04/2012 - 20h45

j'ai oublié de préciser que $(y_n)_{n \in N} \in l^2_{C}(N)$

Gumus07 · 22/04/2012 - 19h43

Bonsoir tout le monde

des petites indications s'il vous plait

Merci pour votre aide

Tiky · 22/04/2012 - 20h04

Bonjour,

Que signifie la lettre C en indice sur ton ensemble ?

Gumus07 · 22/04/2012 - 20h15

Bonjour

$C$ signifie l'ensemble des nombres complexes...

Merci

Tiky · 22/04/2012 - 20h17

Désolé, ça n'avait rien d'évident, c'est la première fois que je vois ça noté ainsi.

Gumus07 · 22/04/2012 - 20h21

oui c'est vrai , parfois on trouve plusieurs notations pour la meme chose, il y a généralement cette notation $l(N,C)$
désolée de ne pas avoir précisé..

Tiky · 23/04/2012 - 01h16

J'avais cherché une démonstration "élémentaire" toute à l'heure mais je n'avais rien trouvé. En y repensant, on peut le démontrer en reconnaissant un produit de convolution et l'inégalité de Young :
http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A..._les_normes_Lp

Il existe sans doute une démonstration plus simple.

Tiky · 23/04/2012 - 01h31

Uhm, en fait ce n'est pas tout à fait le produit de convolution :/ mais l'analogie avec le cas continue est tentant.

Tiky · 23/04/2012 - 02h08

C'est parti pour l'artillerie lourde

On pose $u_k = \frac{1}{|\lambda|^{k+1}}$ si $k \geq 0$ et $u_k = 0$ si $k < 0$ .
De même $v_k = |y_k|$ si $k \geq 0$ et $v_k = 0$ sinon.

Alors $u = (u_k) \in l^1(\mathbb{Z}, \mathbb{C})$ et $v = (v_k) \in l^2(\mathbb{Z}, \mathbb{C})$

Alors on a :
$\sum_{n=0}^{+\infty} |x_n|^2 \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \left ( \sum_{k=0}^{n} u_{n-k}v_k \right)^2 \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \left ( \sum_{k=-\infty}^{+\infty} u_{n-k} v_k \right )^2 \leq \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left ( \sum_{k=-\infty}^{+\infty} u_{n-k} v_k \right )^2 = ||u * v ||_2^2$

Et par l'inégalité de Young appliqué à p = 1, q = 2 et r = 2. On a $||u*v||_2 \leq ||u||_1 ||v||_2 < \infty$

Gumus07 · 23/04/2012 - 18h45

Bonjour

Merci beaucoup pour votre aide, mais ce que je ne comprend pas c'est quoi le produit $*$ entre les suites de $l^2(N,C)$

Merci encore

Tiky · 23/04/2012 - 19h47

Il suffit de calquer sur la définition de la convolution sur $\mathbb{R}$ . Tu dis que $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ sont convolables si
pour presque tout $x$ la fonction $y \to f(x-y)g(y)$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ par rapport à la mesure de Lebesgue. Tu poses alors :
$f*g(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x-y)g(y) dy$

En revanche pour faire des convolutions sur des suites, il faut mieux utiliser $\mathbb{Z}$ pour l'indexation. Au lieu d'intégrer par rapport à la mesure de Lebesgue,
on va intégrer par rapport à la mesure de comptage sur $\mathbb{Z}$ . Si on se donne 2 suites complexes $u = (u_k)_{k \in \mathbb{Z}}$ et $v = (v_k)_{k \in \mathbb{Z}}$ , on appelle produit
de convolution de $u$ et $v$ la suite définie par :
$n \in \mathbb{Z},\ u*v(n) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} u_{n-k} v_k$
Avec des hypothèse suffisantes sur $u$ et $v$ , le produit de convolution est définie pour tout entier relatif n.

L'inégalité de Young repose sur l'inégalité d'Hölder, c'est pour ça qu'elle reste valable pour le produit de convolution de suites.
Tu peux regarder l'exercice 5.2 sur le pdf suivant : http://lefevrepa.free.fr/PagesPerso/...ent/polyaf.pdf