Algèbre linéaire: Généralités.

[Formule1]

Bonjour à tous.
J'ai des questions à vous poser concernant l'algèbre linéaire en général:

- Qu'est ce qu'un polynôme annulateur concrètement (cas d'une substitution et en général) ? Comment le calcul t-on ? A quoi sert il ? Que peut il nous apporter ?

- Qu'est ce qu'un polynôme caractéristique concrètement ? Comment le calcul t-on ? A quoi sert il ? Que peut il nous apporter ?

- Qu'est ce que la diagonalisation? A quoi sert elle ? Que peut elle nous apporter ? (De même pour la triangulation)

- Qu'est ce qu'une valeur propre/vecteur propre/espace propre concrètement ? A quoi servent-ils ? Que peuvent ils nous apporter ?

- Utiliser la comatrice pour calculer l'inverse d'une matrice est il intéressant ? Selon quels cas ?

- A quoi nous servent les matrices nilpotentes ? A quoi servent-elles ? Que peuvent elles nous apporter ?

- Comment peut on interpréter l'endomorphisme f définie telle que (f-a.Id)°(f-b.Id)=0 où a<>b ? Que peut on en dire ?

[369]

1) un exemple de polynôme annulateur: le polynôme minimal d'une matrice, le théorème de Cayley-Hamilton
2) le polynôme caractéristique permet de trouver les valeurs propres.
3) si la matrice est diagonalisable (exemple A) et qu'on te demande de calculer A^n. Tu as:A^n=PD^nP^(-1) avec P la matrice de passage et D la matrice diagonale
4)les sous espaces propres te permettent de trouver la matrice de passage P
5) utiliser la comatrice est plus rapide que de faire la méthode de gauss-jordan
6) un exemple d'application des matrice nilpotente est la décomposition de dunford qui peut servir à calculer l'exponentielle d'une matrice

[albanxiii]

Bonjour,

1) un exemple de polynôme annulateur: le polynôme minimal d'une matrice, le théorème de Cayley-Hamilton

Perdu, c'est le polynome caractéristique.

Je laisse les autres contributeurs du forum continuer à faire les corrections si nécessaire. Je pense qu'au vu des questions que vous posez sur ce forum, vous n'êtes pas la personne la plus légitime pour répondre à ce genre de question. Sans aminosité de ma part, c'est juste un constat, froid.

Bonne journée.

[369]

le polynôme minimal est un polynôme annulateur et pour Cayley-hamilton si on prend le polynôme caractéristique et qu'on remplace par la matrice cela fait 0