integration par changement de variable

ouflala · 22/04/2012 - 22h04

Bonjour,

J'a i un exo ou je dois calculer une integrale par changement de variable....
Le pb c'est que je n'ai rien compris dans la methode, j'ai cherché sur internet, j'ai encore moins bien compris...

Donc , pourriez vous , non pas me faire l'exo mais m'expliquer comment on fait...

Je vous donne l'integrale en question...
..............+infini
soit G(n)=S x^n-1e^-xdx (avec S=symbole integrale...)
...............0
calculer g(1/2) en posant x=t²/2

merci d'avance pour votre aide!

RoBeRTo-BeNDeR · 23/04/2012 - 06h59

Bonjour,

tu as $G(n)= \int_0^{+ \infty} x^{n-1}e^{-x} dx$ donc $G(1/2)= \int_0^{+ \infty} x^{-1/2}e^{-x} dx$ on te propose $x=t^2/2$ (qui vérifie de bonnes hypothèses, ici strictement monotone) on va donc prendre $t=\sqrt{2x}$ , (on aurait pu prendre l'opposé) alors $dx=t.dt$ (on dérive les variables comme si il s'agissait de fonctions, tu marques dt pour t') et quand $x=0$ on a $t^2/2=0$ et quand $"x=+ \infty"$ on a $"t=+\infty"$ ça nous donne donc en remplaçant x et dx:
$G(1/2)= \int_0^{+ \infty} (t^2/2)^{-1/2}e^{-t^2/2} (t.dt)=\int_0^{+ \infty} \sqrt{2}.\frac{1}{t}.e^{-t^2/2} t.dt=\sqrt{2} \int_0^{+ \infty}e^{-t^2/2} dt$ alors soit tu connais l'intégrale de droite, soit tu peux la retrouver avec celle ci un peu plus connue:

$\int_ {-\infty}^{+ \infty} e^{-x^2} dx= \sqrt{\pi}$ en la coupant en 2 morceaux avec 0 pour milieux, utilisation de la parité puis changement de variable tu peux te ramener à celle du dessus.

Allez essaye de finir.

gg0 · 23/04/2012 - 09h51

Bonjour.

Si c'est le premier exercice que tu fais sur la méthode de changement de variable, c'est effectivement très costaud. Trop, et il est possible que tu ne comprennes pas vraiment la réponse de RoBeRTo-BeNDeR.
Pour le changement de variable, il ne faut pas trop chercher à "comprendre" (j'ai cherché 6 mois quand j'apprenais les maths tout seul avant de me rendre compte qu'il n'y a rien de caché) : C'est une simple égalité dont la preuve est simple, mais qui a une bonne utilité. Traduite intuitivement, cette égalité dit simplement que (dans des conditions données), on peut remplacer une expression par un nombre (ou inversement) à condition d'en tenir compte dans "l'élément différentiel" (le dx, dt ou autres) et dans les bornes s'il y en a.
Si les fonctions sont toutes définies et continues, et les bornes finies, il n'y a pas de problème. Deux exemples :
$\int \frac {e^x}{e^{2x}+1}dx= \int \frac 1 {t^2+1} dt = \arctan (t) + C=\arctan(e^x) +C$
Ici, le changement de variable est $t=e^x$ et j'ai eu besoin du $e^x$ du numérateur pour le $dt$ car $dt=e^x dx$
$\int_0^1\sqrt {1-x^2}dx=\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-\sin(t)^2}\cos(t) ~dt$ ... etc
Ici, j'ai posé $x=\sin(t)$ , d'où $dx=\cos(t) dt$ , et, pour que x varie de 0 à 1, j'ai imposé à t de varier de 0 à $\frac{\pi}2$ (on aurait pu prendre d'autres valeurs, le tout est que les correspondances entre x et t soient bonnes).
La suite du calcul utilise le fait que $1-\sin(t)^2$ est le carré d'un réel positif (dans ce choix des bornes), et on est ramené à une intégrale trigonométrique.

Cordialement.

ouflala · 24/04/2012 - 08h33

Bonjour et merci pour vos reponses...

j'ai repris mon cours et vos explications ca va un peu mieux, j'ai compris qques subtilités...

En fait il faut bien poser les conditions initiales (t, x et dx ...)
Mais une fois que l'on arrive à e^-t²/2 je ne vois pas comment la couper en 2 avec 0...
Pourriez vous explicitez un peu svp?
Quant à e^-x², on n'est pas censé la connaitre dans l'exo...

merci d'avance pour votre aide

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