Suite à deux variables

Shenik · 25/04/2012 - 02h24

Bonjour !

Je tiens tout d'abord à préciser que je ne suis qu'en TS et que même si (je pense que) ma question est d'un niveau supérieur au bac, je n'ai néanmoins pas les connaissances d'étudiants dans le supérieur, et il faut donc tout m'expliquer.

Alors, voici l'exercice qui me pose problème :

V est une suite d'équation : V(t)=t+1

U est une suite de premier terme U(0)=V(t) et d'équation :

$U_{n+1}=\frac{|-2+(-1)^{U_n}|*U_n}{(1+(-1)^{U_n})!} + \frac{|-1+(-1)^{U_n}|}{|-1+(-1)^{U_n}|!}$

Comment écrire U(n) en fonction de n et de t ?

Merci d'avance pour votre aide !

Tryss · 25/04/2012 - 02h52

Si t est entier plus grand que -1...

Supposons que $U_n$ soit entier positif

Si $U_n$ est pair, alors $(-1)^{U_n} = 1$

Donc $U_{n+1} = \frac{|-2+1| U_n}{(1+1)!} + \frac{|-1+1|}{(-1+1)!} = \frac{U_n}{2} + 0 = \frac{U_n}{2}$

(ça reste donc un entier positif)

Si $U_n$ est impair, alors $(-1)^{U_n} = -1$

Donc $U_{n+1} = \frac{|-2-1| U_n}{(1-1)!} + \frac{|-1-1|}{(|-1-1|)!} = 3U_n + \frac{2}{2} = 3U_n+1$

(ça reste donc un entier positif)

Ainsi $U_n$ est en fait la célèbre suite de Syracuse :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse

PS : j’espère juste que ça ne va pas se transformer par un n-ième fil où un génie incompris va nous proposer une pseudo démonstration foireuse de la conjecture.

Shenik · 25/04/2012 - 14h25

J'aurais dû m'expliquer un peu mieux, c'est moi qui ait écrit cette suite U(n) pour que celle-ci fonctionne comme la suite de Syracuse.
Si je suis ici, ce n'est pas parce que je suis "un génie incompris qui va vous proposer une pseudo démonstration foireuse de la conjecture".
Je suis ici parce que cette suite m'amuse beaucoup, et sans avoir la prétention de vouloir démontrer la conjecture, je ne vois pas en quoi il est péjoratif d'essayer de trouver un moyen pour y parvenir.
N'ayant néanmoins pas les connaissances suffisantes pour trouver une écriture de u(n) en fonction de n et de t, je sollicitais votre aide pour m'aider à en trouver une.

Car je me disais que si on pouvait mettre la suite en fonction de n et de t, alors :
- Dans l'équation U(n)=1, n serait de la durée de vol en fonction de t.
- Dans l'équation U(n)=V(t), n serait la durée de vol en altitude en fonction de t.

Et je n'y avais pas penser jusqu'à lors mais en fait, prouver que U(n) est périodique lorsque n tend vers $+ \infty$ reviendrait à démontrer la conjecture, non ?

gg0 · 25/04/2012 - 14h32

Bonjour.

"N'ayant néanmoins pas les connaissances suffisantes pour trouver une écriture de u(n) en fonction de n et de t, je sollicitais votre aide pour m'aider à en trouver une."

Autrement dit, tu sollicites qu'on prouve la conjecture de Syracuse. Car si on savait écrire u(n), on pourrait savoir si elle prend la valeur 1.

Cordialement.

NB : mais continue à bien t'amuser avec cette suite. C'est déjà joli d'avoir trouvé une "formule".

Shenik · 25/04/2012 - 21h50

Envoyé par gg0

Autrement dit, tu sollicites qu'on prouve la conjecture de Syracuse.

Pas forcément, au moins m'aider à progresser dans ma démarche, même si celle-ci n'aboutit à rien.

Je me disais d'ailleurs que la suite ressemble fort à une suite arithmétique et géométrique du type $U_{n+1}=aU_n+b$ avec comme premier terme $U_0=U$

Qui s'écrit aussi : $U_n=\frac{b}{1-a}+a^n(U-\frac{b}{1-a})$

Le problème étant ici que $b$ et $a$ sont dépendants de $U_n$ , il faudrait trouver une méthode pour écrire $U_{n+1}=|c+(-1)^{U_n}|!$ en fonction de n ( $\forall\ c \in Z$ ), pour pouvoir écrire $a$ et $b$ en fonction de $n$ , puis les réinjecter dans la formule des suite arithmétiques et géométriques.