Aide exercice: exponentielle niveau TS

[melow]

Svp esque qqn pourai m'aider pour cette exercice je n'y arrive pas, merci d'avance à celui qui poura m'aider

g(t)=(1-exp(-t))/t si t > 0
et g(0) = 1 , fonction définie sur [0, + infini [

1)Prouver que pour tout t supérieur ou égal à 0, on a 1 + t inférieur ou égal à exp(t)
2)En déduir le signe de g'(t) et le sens de variation de g(t)
3) On se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0, pour cela on introduit la fonction h definie sur [0, + infini [ par :
h(t) = 1 - t + ( t²/2 ) - exp(-t)
a) calculer h' et h" ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0)
b) prouver que pour tout t>0 on a 0 < h(t) < (t^3)/6 (1)
Pour cela on établira d'abord que 0 < h"(t) < t, et on déduira un encadrement de h' puis de h
c) Déduire de la relation (1) un encadrement de (1-exp(-t)-t)/t²
Prouver finalement que g est dérivable en 0 et que g'(0)= -1/2

[martini_bird]

Bonjour et bienvenue,

sur ce forum, il faut préciser ce que tu as fait et o&#249; tu bloques. (cf. ce fil)

Pour la modération.

[melow]

ah ok, pour la 1) je vois pas comment on fait, je retourné l'equation dans tout les sens mais pas moyen de trouver.
apres pour la question 2) je croi ke je peu trouver moi meme la question 3)a) j'ai trouver h'(t) = -1+t+exp(-t) et h''(t) = 1-exp(-t)
pour les question 3)b et c je bloque complétement

[nissart7831]

Bonsoir, tu veux montrer que 1+t e^t.

Cela ne peut il pas revenir à étudier le signe d'une fonction ?

[melow]

peut etre en fait je c pas ce qu'il faut faire, é le signe c inférieur ou égal

[nissart7831]

oui, le signe c'est inférieur ou égal !!

Ma question était en fait une suggestion. Il faut que tu cherches un peu quand même.
Est ce que &#231;a ne revient pas à résoudre e^t-(1+t) 0 ?
Si tu poses g(t) = e^t-(1+t) , cela revient à résoudre g(t) 0. Tu n'as pas déjà vu &#231;a ? Comment peut on étudier le signe d'une fonction ?

[melow]

euh faut faire une dérivée nan ?
é pour la 3) b) t'a pas une idée comment je pourai démarrer ?

[nissart7831]

oui, pour la dérivée. Mais ce ne sera pas suffisant.
Commence par faire la question que l'on traite en ce moment et la méthode que tu adopteras t'aidera pour la 3b.

[melow]

je dois y aller, merci encore pour ton aide