Propriétés spéciales de Pi
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Propriétés spéciales de Pi



Vue hybride

  1. #1
    inviteda3529a9

    Propriétés spéciales de Pi

    Bonjour à tous
    J'ai besoin de votre aide
    Soit a et b deux entiers strictement positifs tels que a/b=Pi (raisonnement par l'absurde pour montrer que Pi est irrationnel).
    Pn(x)=(x^n.(a-b.x)^n)/n!
    In=Int((x^n.(a-b.x)^n)/n!.sin(x), x = 0 .. Pi)

    Comment déterminer la limite de In quand n tend vers +infinity ???

    Comment calculer Pn(k)(0) (dérivée k-ième de Pn en 0) et Pn(k)(a/b) avec la formule de Taylor ? Laquelle choisir ???

    Comment montrer que Pn(k)(0) et Pn(k)(a/b) sont des entiers relatifs à l'aide d'intégration par parties ?

    Enfin, comment conclure concernant le fait que Pi soit irrationnel puisque le but de cet exercice est de montrer que Pi est irrationnel

    Merci beaucoup de votre aide.

    A tout de suite.

    Formule 1

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale

    Bonjour.

    Pour In on peut majorer la fonction |Pn(x) sin(x)| par son maximum. En étudiant les variations de x(a-bx) on trouve un maximum pour a/2b=Pi/2 qui est justement le maximum de sin(x). Je te laisse compléter.

    Pour la suite, le développement de Mac-Laurin d'un polynôme est son écriture développée réduite ordonnée.

    Bonne réflexion.

  3. #3
    inviteda3529a9

    Re : Intégrale

    Pourriez vous détailler svp.
    Merci beaucoup d'avance.

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale

    Non,

    c'est ton exercice, c'est à toi de la faire. Moi je ne le connaissais pas et j'ai pris la peine d'y réfléchir, toi tu peux réfléchir vraiment, avec les pistes que je t'ai données.

    Bon travail !

    Juste une idée : J'ai eu l'intuition que la limite serait nulle. Pas toi ?
    Dernière modification par gg0 ; 11/05/2012 à 21h20.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    inviteda3529a9

    Re : Intégrale

    ainsi, la borne supérieure de Pn est (Pi/2)(1/n!) ???

    Comment majorer abs(Pn(x) sin(x)) ??? avec quelle fonction.
    Comment celà, majorer ? Il e faut pas plutôt encadrer et utiliser ensuite le théorème des gendarmes ?

    Merci d'avance

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale

    Pour la borne supérieure de Pn je ne vois pas ça. Fais vraiment le calcul, sérieusement, en vérifiant qu'à chaque étape tu utilises une propriété mathématique. Par exemple en utilisant :


    pour la majoration, le plus simple est de majorer la valeur absolue de l'intégrale par l'intégrale de la valeur absolue, technique très classique à ton niveau, non?

    Quoique ? je me demande finalement quel est ton niveau ? Es-tu en bac +2 ou en bac-2 ?

    Cordialement.

  8. #7
    inviteda3529a9

    Re : Intégrale

    Bonsoir.
    Vous dites, dans un message ci dessus, que la borne supérieure de x(a-bx) est atteinte pour x=(a/(2b)) Donc celle de l'integrale est a/(2bn!). Ou est le problème ? Qu'est ce que vous ne voyez pas ?

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