Propriétés spéciales de Pi

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous
J'ai besoin de votre aide
Soit a et b deux entiers strictement positifs tels que a/b=Pi (raisonnement par l'absurde pour montrer que Pi est irrationnel).
Pn(x)=(x^n.(a-b.x)^n)/n!
In=Int((x^n.(a-b.x)^n)/n!.sin(x), x = 0 .. Pi)

Comment déterminer la limite de In quand n tend vers +infinity ???

Comment calculer Pn(k)(0) (dérivée k-ième de Pn en 0) et Pn(k)(a/b) avec la formule de Taylor ? Laquelle choisir ???

Comment montrer que Pn(k)(0) et Pn(k)(a/b) sont des entiers relatifs à l'aide d'intégration par parties ?

Enfin, comment conclure concernant le fait que Pi soit irrationnel puisque le but de cet exercice est de montrer que Pi est irrationnel

Merci beaucoup de votre aide.

A tout de suite.

Formule 1

[gg0]

Bonjour.

Pour I_n on peut majorer la fonction |P_n(x) sin(x)| par son maximum. En étudiant les variations de x(a-bx) on trouve un maximum pour a/2b=Pi/2 qui est justement le maximum de sin(x). Je te laisse compléter.

Pour la suite, le développement de Mac-Laurin d'un polynôme est son écriture développée réduite ordonnée.

Bonne réflexion.

[inviteda3529a9]

Pourriez vous détailler svp.
Merci beaucoup d'avance.

[gg0]

Non,

c'est ton exercice, c'est à toi de la faire. Moi je ne le connaissais pas et j'ai pris la peine d'y réfléchir, toi tu peux réfléchir vraiment, avec les pistes que je t'ai données.

Bon travail !

Juste une idée : J'ai eu l'intuition que la limite serait nulle. Pas toi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteda3529a9]

ainsi, la borne supérieure de Pn est (Pi/2)(1/n!) ???

Comment majorer abs(Pn(x) sin(x)) ??? avec quelle fonction.
Comment celà, majorer ? Il e faut pas plutôt encadrer et utiliser ensuite le théorème des gendarmes ?

Merci d'avance

[gg0]

Pour la borne supérieure de P_n je ne vois pas ça. Fais vraiment le calcul, sérieusement, en vérifiant qu'à chaque étape tu utilises une propriété mathématique. Par exemple en utilisant :


pour la majoration, le plus simple est de majorer la valeur absolue de l'intégrale par l'intégrale de la valeur absolue, technique très classique à ton niveau, non?

Quoique ? je me demande finalement quel est ton niveau ? Es-tu en bac +2 ou en bac-2 ?

Cordialement.

[inviteda3529a9]

Bonsoir.
Vous dites, dans un message ci dessus, que la borne supérieure de x(a-bx) est atteinte pour x=(a/(2b)) Donc celle de l'integrale est a/(2bn!). Ou est le problème ? Qu'est ce que vous ne voyez pas ?