bijection

absoluflash1310 · 29/05/2012 - 15h13

Bonjour,
Voila je suis en première année de licence et je bloque pour une question :
Soir f : R -> R une fonction de classe C1 telle qu'il existe k compris [0,1[ vérifiant |f'(t)| <k pour tout t de R. Soit g : R² -> R² définie par g(x,y)=(x+f(y), y+f(x))
Démontrer que g est bijective.

J'ai réussi a montrer l'injection avec le théoreme des accroissements finis mais je ne vois pas comment démontrer la surjectivité.

Merci

Tiky · 29/05/2012 - 15h54

Bonjour,

Soit $(u, v) \in \mathbb{R}^2$ , alors s'il existe $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ tel que $g(x, y) = (u, v)$ , cela implique que :
$x+f(y) = u$ et $y = v-f(x)$ et donc $x+f(v-f(x)) = u$ .

Posons $h_v(x) = x + f(v-f(x))$ . Il suffit de prouver que h est surjectif. En fait h est même bijectif.
L'injectivité n'est pas nécessaire pour faire l'exercice mais c'est instructif à démontrer.

Pour la surjectivité, commence par vérifier qu'il existe un réel positif b tel que :
$|f(x)| \leq k|x| + b$ (c'est trivial).

En déduire un encadrement de la forme $-1 < M_1 \leq \frac{f(v-f(x))}{x} \leq M_2 < 1$ (valable pour |x| assez grand)
puis conclure sur la limite de $h_v$ en $+\infty$ et $-\infty$

absoluflash1310 · 29/05/2012 - 16h07

Désolé mais je ne saisis pas le coté trivial pour le début de la surjectivite...

Tiky · 29/05/2012 - 16h09

Il suffit d'appliquer l'inégalité des accroissements finis et un petit calcule simple.

absoluflash1310 · 29/05/2012 - 16h30

Je suis désolé mais je vois vraiment pas là...

Tiky · 29/05/2012 - 16h34

Et bien tu as que $|f(x)-f(0)| \leq k|x|$ donc $|f(x)| \leq k|x| + |f(0)|$ . On prend b = |f(0)|.

absoluflash1310 · 29/05/2012 - 16h41

ah oui non désolé ça on avait trouvé ^^ C'est pour l'encadrement qu'on arrive pas à relier cette relation avec justement l'encadrement.

Tiky · 29/05/2012 - 16h58

Pour l'encadrement, il suffit d'appliquer deux fois l'inégalité de mon post précédent :
$\frac{|f(v-f(x))|}{|x|} \leq \frac{k|v-f(x)|+b}{|x|} \leq \frac{k|v|+k|f(x)|+b}{|x|} \leq \frac{k|v|}{|x|} + \frac{k^2|x| + kb + b}{|x|} \to k^2$ lorsque $|x| \to \infty$

absoluflash1310 · 30/05/2012 - 18h16

C'est bon on a reussi à encadrer mais on ne voit pas en quoi cela prouve que g est bijective...

Tiky · 30/05/2012 - 18h31

Lis mon premier post, l'encadrement sert à quelque chose et je l'ai déjà dit.

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