Matrice Jordanisable et sous espace complémentaire !

ichigo01 · 29/05/2012 - 22h51

Salut à tous,

Lorsqu'on a une matrice diagonalisable dans E, l'espace E peut s'écrire comme la somme directe de l'image de A et son noyau.
Dans le cas où une matrice n'est pas diagonalisable, mais Jordanisable dans E est ce qu'on peut écrire E comme la somme directe de l'image de A et un sous espace complémentaire C, est ce qu'on peut déterminer C ?

Merci d'avance.

Tiky · 30/05/2012 - 10h35

Bonjour,

Envoyé par ichigo01

Lorsqu'on a une matrice diagonalisable dans E, l'espace E peut s'écrire comme la somme directe de l'image de A et son noyau.

J'ai peut-être mal compris mais ça semble bien faux.

ichigo01 · 30/05/2012 - 22h30

Envoyé par Tiky

Bonjour,
J'ai peut-être mal compris mais ça semble bien faux.

Désolé, j'ai oublié d'ajouter que det(A) = 0, c'est à dire que 0 est un valeur propre de A.

Merci.

Tiky · 30/05/2012 - 22h53

C'est toujours faux. Les seuls endomorphismes dont l'image et le noyau sont supplémentaires sont les projections. Elles sont effectivement diagonalisables puisque $X(X-1)$ annule toute projection.

ichigo01 · 30/05/2012 - 22h58

Vous avez vérifiez ? car si A est diagonalisable dans E et 0 est une valeur propre de A. On sait que E va s'écrire comme somme directe des sous espaces propres.
Le sous espace propre associé à 0 n'est autre que le ker(A) et on montre facilement que la somme directe des autres sous espaces propres est égale à Im(A).

Corrigez moi si je me trompe. Merci.

Tiky · 30/05/2012 - 23h17

Pour toi pour tout endomorphisme non inversible f, on a $\mathrm{Ker}(f) \cap \mathrm{Im}(f) = \{0\}$ ?

En revanche, ce que j'ai dit est aussi faux. Il y a des endomorphismes qui ne sont pas des projections et dont noyau et image sont supplémentaires.

ichigo01 · 30/05/2012 - 23h19

La somme directe des sous espaces propres l'impose !

Tiky · 30/05/2012 - 23h27

Bon si tu insistes, un contre-exemple :
$A = \begin{pmatrix}<br /> 0 & 1 \\<br /> 0 & 0 \\<br /> \end{pmatrix}$

Alors ker A = Im A.

MissPacMan · 30/05/2012 - 23h59

Bonjour,
Il a écrit

Lorsqu'on a une matrice diagonalisable dans E, l'espace E peut s'écrire comme la somme directe de l'image de A et son noyau.

ce qui est correct.

Tiky · 31/05/2012 - 00h08

Alors toutes mes excuses, j'avais tort depuis le début.

0577 · 31/05/2012 - 21h39

Bonsoir,
je reviens à la question initiale.
Soit A un endomorphisme de E espace vectoriel de dimension finie.
Im A est un sous-espace vectoriel de E, il admet donc un sous-espace supplémentaire :
ceci n'est bien sûr pas une réponse car il existe en général beaucoup de supplémentaires
et il est implicite dans la question qu'on recherche un supplémentaire "canonique", dépendant de f.
Le sens de "canonique" étant à préciser et puisque je n'en vois pas de naturel, je me contente de deux
remarques :
1) si Im A admet un supplémentaire F stable par A alors nécessairement F = Ker A
(en effet, si x est dans F, alors A(x) est dans Im A et dans F donc est nul)
2)Bien sûr, on n'a pas toujours E=KerA $\oplus$ ImA mais il existe toujours r
entier tel que $E=Ker(A^{r}) \oplus Im(A^{r})$ (c'est la décomposition de Fitting).