Calcul simple d'une limite...

theincarnal · 02/06/2012 - 00h05

Donc voila, c'est le calcul de la toute première limite qui me pose problème...
par le DL j'y arrive pas, et par le calcul direct je trouve une forme indéterminée...
Si une âme généreuse pourrait rapidement m'expliquer le résultat '-infini'.

Merci d'avance!

**Médiat** · 02/06/2012 - 06h00

Bonjour,

Vous parlez de la première limite celle où il y a un gross faute de frappe (un "=" en trop) ?

Si oui, je ne comprends pas votre problème, ce n'est même pas une forme indéterminée.

theincarnal · 02/06/2012 - 13h45

-infini / 0 n'est pas une FI effectivement . . . c'est équivalent à (-infini)*(+infini)
je suis un peu rouillé, merci!

theincarnal · 02/06/2012 - 16h40

en avançant dans mes révisions, un autre problème se pose!

je dois démontrer la convergence de l’intégrale généralisée/impropre suivante:

$\bigint_{0}^{+\infty} \frac{1}{sqrt{e^{x}-1}}dx$

Mon raisonnement:

Cette intégrale a deux singularités, en 0 et $+\infty$ , je cherche donc des équivalents de cette fonction lorsque t tend vers 0+ et +infini pour ensuite utiliser le théorème de comparaison avec riemann.

En +infini
$\frac{1}{sqrt{e^{x}-1}} \sim \frac{1}{e^{-x^2}}$
et après je calcule directement l’intégrale de l'équivalent qui donne un entier fini.

En +0 par contre, je peux utiliser le DL pour transformer directement dans la racine e^t en 1+t ? et ainsi trouver un équivalent puis utiliser riemman et conclure ? ?
$\frac{1}{sqrt{e^{x}-1}} \sim \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}$

C'est l'utilisation du DL directement dans la racine pour établir l'équivalence qui me fait douter en fait.

MERCI d'avance

theincarnal · 02/06/2012 - 22h03

dsl pour les petits 'dx' en trop, j'ai appris tt a l'heure à me servir de latex

369 · 03/06/2012 - 11h06

tu peux séparer ton intégrale de 0 à 1 et de 1 à +oo

pour $\int_0^1 \frac {1} {\sqrt{e^x -1}}dx$

en 0 le terme général tend vers +oo, pour se ramener en 0 on pose x=1/h

donc le terme général sera équivalent à $\frac {1} {h^{3/2}}$ et $\int_1^{+\infty}\frac {1} {h^{3/2}}dh$ converge. Donc l'intégrale de 0 à 1 converge

pour l'intégrale de 1 à +oo:
$e^x>=x^3$
$\frac {1} {\sqrt{e^x-1}}<= \frac {1} {\sqrt {x^3-1}}$ et $\int_1^{+\infty} \frac {1} {\sqrt {x^3-1}}dx$ est de même nature que $\int_1^{+\infty} \frac {1} {x^{3/2}}dx$ qui converge

donc toute ton intégrale converge

theincarnal · 03/06/2012 - 17h54

Merci pour ces explications!
en +infini, j'ai compris.
Mais en 0, saurais tu comment utiliser correctement le DL pour démontrer la convergence ? parce que les changements de variables, me connaissant, si je les utilise, je vais me planter

.

Peut on dire

$DLen0(\frac{1}{sqrt{e^x-1}})$ = $\frac{1}{sqrt{DL en 0 (e^x)-1}}$ = $\frac{1}{sqrt{1+x-1}}$ = $\frac{1}{sqrt{x}}$ ???

D'ou la convergence avec l'équivalence d'une intégrale qui converge d'apèrs le critère de riemann.
L'utilisation du DL me pose pbm.

369 · 03/06/2012 - 18h35

Pour pouvoir faire un DL, il faut que le terme général de l'intégral tend vers 0. Du coup, comme il tend vers +oo, il faut se ramener en 0 par un changement de variable. Sinon je ne vois pas comment faire autrement

gg0 · 03/06/2012 - 20h11

Bonsoir Theincarnal.

pourquoi vouloir des DL, alors qu'un équivalent suffit ?

Tu en connais un pour $e^x-1$ en 0, ce qui te donne un équivalent de ta fonction par une fonction intégrable en 0.

Cherche à faire simple, et à bien vérifier que tu appliques des théorèmes, et correctement (toutes les hypothèses sont vérifiées, la conclusion est appliquée strictement, ...). Ce qui t'évitera des absurdités comme :
$\frac{1}{sqrt{e^{x}-1}} \sim \frac{1}{e^{-x^2}}$
D'ailleurs, pour ton équivalent en 0, il y a une condition importante à vérifier (relis le théorème).

Cordialement.

theincarnal · 03/06/2012 - 21h40

Merci encore à vous 2.

/ggo

pourquoi vouloir des DL, alors qu'un équivalent suffit ?

On peut trouver des équivalents au voisinage d'un point ( qui n'est pas infini ) sans passer par les DL ?

Tu en connais un pour $e^x-1$ en 0, ce qui te donne un équivalent de ta fonction par une fonction intégrable en 0.

Oui j'en connais un mais en passant par les DL
$e^x-1 \sim x$ en 0, je suis daccord, mais $\frac{1}{\sqrt{X}}$ n'a pas d'équivalent en 0,Donc je ne peux trouver d'équivalent en 0 sans changement de variable.
J'ai du mal comprendre quelque chose. . .

D'ailleurs, pour ton équivalent en 0, il y a une condition importante à vérifier (relis le théorème).

Tu parles du critère d'équivalence? avec la condition f(x) signe constant au voisinage de 0+ ? j'y ferais attention alors.

/369

Pour pouvoir faire un DL, il faut que le terme général de l'intégral tend vers 0. Du coup, comme il tend vers +oo, il faut se ramener en 0 par un changement de variable. Sinon je ne vois pas comment faire autrement

Tu veux dire que le TG de l'integral tend vers une constante différent de l'infini ? on peut fr un DL en 0 de choses qui ne tendent pas vers 0.

Bcp de choses qui sont flou, d’où la naïveté de mes questions.

gg0 · 03/06/2012 - 22h44

On peut trouver des équivalents au voisinage d'un point ( qui n'est pas infini ) sans passer par les DL ?

Bien sûr, la notion d'équivalent est bien plus générale que celle de développement limité. Tu n'as pas commencé tes cours par ça ?
D'ailleurs $\frac{1}{\sqrt{X}}$ est un équivalent, ici, pas un DL. Et on n'a pas à en prendre un équivalent, mais à l'utiliser pour appliquer le théorème.

Cordialement.