Factorisations d'une application

[hero1993]

Bonjour!
J'ai besoin d'un raisonnement serré pour résoudre le problème suivant:
Soient E,F,G trois ensembles non vides. Les applications: f:E-->F, h:F-->G, g:E-->G
Montrer que, pour que hf=g, il faut et il suffit que: pour tous les (x,x') de E^2, (f(x)=f(x') => g(x)=g(x')).
Voilà, l'implication hf=g => (f(x)=f(x')=>g(x)=g(x')) est très simple.
Mais je ne comprends pas du tout comment faire le reste, c'est-à-dire le réciproque.
Merci beaucoup pour vos aides!!!

[gg0]

Bonjour.

Bizarre cet énoncé. Et clairement faux, puisque si f et g sont injectives quelconques, on a toujours f(x)=f(x')=>x=x'=>g(x)=g(x').

Es-tu sûr de cet énoncé ?

Cordialement.

[hero1993]

Bonjour,
Ben...mais on n'a pas que f et g sont injectives
Au revoir.

[MissPacMan]

Salut,
Vu ton titre t'es sur que ta question n'est pas plutot, montrer qu'etant donné f:E->F et g:E->G, il existe h:F->G tel que g=foh ssi pour tout x,y f(x)=f(y) implique g(x)=g(y).

[gg0]

Hero1993,

"Ben...mais on n'a pas que f et g sont injectives". Non, mais ce n'est pas interdit. Et ça permet de montrer par un contre exemple que ta propriété est fausse.

Par contre l'énoncé de MissPacman est bien plus sérieux.

Cordialement.

[hero1993]

Bonjour!
gg0: Je te comprends, et alors l'énoncé de MissPacman est exacte ce que je veux exprimer!
Au revoir.

[hero1993]

Bonjour,
Mais...comment résoudre cette énoncé exactement?
Merci.

[gg0]

Ok.

Dans le sens "si g=foh alors pour tout x,y f(x)=f(y) implique g(x)=g(y)" tu sais faire. Donc supposons que pour tout x,y f(x)=f(y) implique g(x)=g(y); il te suffit de définir h de façon à ce que ça marche. Sur l'image de f, il suffit de prendre h(f(x))=g(x), et ailleurs h(t)=un élément de G, puisqu'il est non vide. La condition fait que h, ainsi défini, est bien une application.

Je te laisse rédiger ça proprement.