matrice carrée symétrique positive et matrice stochastique ?

[julien_4230]

Bonjour.

Y a-t-il un théorème, ou algorithme, permettant d'aboutir à une unique matrice stochastique à partir d'une matrice carrée positive symétrique ?

Merci !
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[Tryss]

Diviser chaque ligne par la somme des coefficients de la ligne ?

Après tout dépend de ce que tu entends par "aboutir" : veux tu conserver des propriétés ?

[julien_4230]

Bonjour,

Merci de la réponse.

Je ne suis pas convaincu par votre algorithme, bien que nous avon pensé à la même chose... Mais cela ne me convainc pas de faire ceci puisque l'on modifie ce qui caractérise la matrice en elle-même alors qu'il n'y a aucun théorème qui permet d'effectuer cet algorithme...

En fait, oui, il faudrait qu'il y ait conservation de ses propriétés, ou encore mieux, il faudrait trouver une matrice stochastique semblable (et qui soit symétrique de préférence !), et là, on a un solide argument.

Est-ce qu'il est possible d'effectuer cela, déjà ?

Je vais reformuler mon problème : on a une matrice positive et symétrique. Est-ce qu'on peut trouver une matrice stochastique semblable à cette matrice initiale, conservant la positivité et la symétrie de cette dernière ?

[julien_4230]

Salut,

Je repose la question assez mal posée.


Puis-je obtenir une matrice stochastique symétrique à partir d'une matrice symétrique positive ?


Merci,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Si par "obtenir" tu veux dire "existe t'il une matrice stochastique semblable", la réponse est non, car la trace est un invariant pour les matrices semblables :

Toutes les matrices stochastiques de taille nxn ont une trace entre 0 et n, tandis que les matrices symétriques positives ont une trace quelconque

[julien_4230]

Okay, je suis d'accord.
Concernant la question posée aujourd'hui ? Peut-on obtenir une matrice stochastique symétrique à partir d'une matrice (non stochastique) symétrique positive ?

[Tryss]

Que veux tu dire exactement par "obtenir"? C'est un terme affreusement flou

[julien_4230]

Bonjour,

Je ne vois pas bien pourquoi il est "affreusement flou", parce que je ne sais pas quoi dire d'autre ?

Y a-t-il un algorithme qui donne une matrice stochastique symétrique à partir d'une matrice non stochastique symétrique positive ? ... Si non, bien tant pis... hé hé...

[invite76543456789]

Bonjour,
Oui y a l'algorithme qui pour toute matrice renvoie l'identité...

[toothpick-charlie]

Y a-t-il un algorithme qui donne une matrice stochastique symétrique à partir d'une matrice non stochastique symétrique positive ?

il faudrait une contrainte : la matrice stochastique la plus proche? au sens de quelle distance?

si tu parles d'une matrice stochastique semblable à la matrice donnée, ce n'est pas toujours possible , ne serait-ce que parce que les valeurs propres d'une matrice stochastique sont plus petites que 1.

additif : Tryss l'avait déjà dit

[julien_4230]

Oui effectivement le problème est très mal posé. A vrai dire je ne sais pas ce que je veux vraiment...

[Tryss]

Quel est le vrai problème que tu cherches à résoudre?

[julien_4230]

J'ai une matrice symétrique positive, et il est question d'y appliquer certains algorithmes (en dire plus m'y ferrait passer la nuit, je peux quand même tenter si vous le voulez).

Seulement ces algorithmes s'appliquent à des matrices stochastiques... En gros, j'aimerais identifier une chaine de Markov liée à la matrice symétrique positive, ce qui me permettra d'en déduire une matrice stochastique associée.

Une idée ?

[Tryss]

Le truc, c'est qu'à priori, il n'y a pas de lien évident entre une matrice symétrique positive et une matrice stochastique.

Donc à moins que tu ai une idée de cette relation entre ta matrice symétrique positive et ta chaine de Markov (qui apparait peut être dans ton problème), je ne vois pas trop ce que tu peux faire (enfin, si, tu peux faire pleins de trucs : pas sur que ça ai un sens par contre )

[gg0]

Bizarre : Tu veux appliquer des algorithmes à des objets qu'ils ne concernent pas ?

[julien_4230]

Oui il me semble qu'il n'existe pas de lien évident entre ces deux types de matrice. Il y a le processus de SCN (article Normalization of a chromosomal contact map) : on prend la matrice symétrique positive et on divise chacune des lignes et colonnes par la somme des lignes et colonnes adéquates, et dans certains cas on tombe sur une matrice stochastique symétrique positive, mais on ne connait pas bien ce processus itératif et l'étude de la convergence paraît compliquée (même si ça marche chez les chromosomes (cf. article)).

Je n'ai pas bien compris la question posée par gg0.

[toothpick-charlie]

bonjour, tu parles de l'article de Cournac et al 2012? si oui, il n'y est pas question de chaîne de Markov. Ils proposent une procédure de normalisation qui m'a l'air d'être parfaitement ad hoc. Ils disent en effet que ça ne marche pas toujours mais ne vont pas plus loin. On ne sait pas à quelles conditions leur méthode converge.

[julien_4230]

Bonjour,

Oui je parle de cet article. Je sais bien qu'il n'y a pas de chaine de Markov dedans, mais je soupçonne qu'il y en ait une et qu'ils sont passé à côté (un modèle de chaîne de (semi-)markov caché est à soupçonner (cf. un article ultérieur)). Mais visiblement il n'y a rien de fait sur un éventuel passage entre une matrice symétrique positive et une matrice stochastique symétrique.

Le 'pourquoi je veux faire ça ?' est clair mais je n'irai pas plus loin for the moment.

Merci à vous !