La limite peut-elle rentrer dans l'intégrale?

zaskzask · 16/06/2012 - 11h19

Bonjour, peut on dire

$\lim \limits_{y \to y_0} \int_{a(y)}^{b(y)} {f(x,y)dx}=\int_{a(y)}^{b(y)} {\lim \limits_{y \to y_0}f(x,y)dx}$

?

Merci.

**albanxiii** · 16/06/2012 - 11h33

Bonjour,

Vu la forme des bornes, je dirais non. Ou alors il faut faire quelques changements pour que les bornes ne dépendent plus de $y$ .

Bonne journée.

zaskzask · 16/06/2012 - 11h44

d'accords. (donc si les bornes ne dépendent pas de y on peut commuter le signe intégrale avec la limite?)

Et encore un truc:

pour $\lim \limits_{y \to 0} \int_0^y {f(x,y)dx}$ ou $\lim \limits_{y \to 0} \int_y^{y^2} {f(x,y)dx}$ (ou des trucs dans ce genre) on peut dire directement que la limite est 0 ou il faut d'abords montré un truc du genre f est borné ou je ne sais quoi?

zaskzask · 16/06/2012 - 12h39

Et aussi (j'oubliais)

$g(y)=\int_{a(y)}^{b(y)} {f(x,y)dx}$ alors $g'(y)=b'(y)f(b(y),y)-a'(y)(a(y),y)+\int_{a(y)}^{b(y )} {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}dx$

Y a il aussi une formule pour $\frac {\partial g(x,y)}{\partial y}$ et $\frac {\partial g(x,y)}{\partial x}$ si

$g(x,y)=\int_{a(x,y)}^{b(x,y)} {f(x,y,t)dt}$ ?

Tryss · 16/06/2012 - 16h24

L'inversion de limite et intégrale fait l'objet de nombreux théorèmes : c'est souvent possible, mais pas tout le temps.

Un tes théorèmes les plus puissants est probablement le théorème de convergence dominée de Lebesgue
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...e_domin%C3%A9e

Si f est bornée et a(y) et b(y) tendent vers une limite finie, alors ça se passe bien, sinon, ça dépend.

Par exemple $f(x,y) = \frac{y}{x^2}, \ a(y) = y$ et $b(y) = 1$

Avec les fonctions indicatrices pour que tout soit à l’intérieur de l'intégrale :

$\varphi(x,y) = \frac{y}{x^2} \mathbb{1}_{[y,1]}(x)$

Alors on a , quand y tend vers 0 par valeur positive :
$<br /> \lim_{y\to 0^+} \int_{\mathbb{R}} \varphi(x,y) dx = \lim_{y\to 0^+} \left[ - \frac{y}{x} \right]_{y}^1 = \lim_{y\to 0^+} 1-y = 1$

Mais
$\int_{\mathbb{R}} \lim_{y\to 0^+} \varphi(x,y) dx = \int_{\mathbb{R}} 0 dx = 0$

zaskzask · 16/06/2012 - 19h19

Si f est bornée et a(y) et b(y) tendent vers une limite finie, alors ça se passe bien

Dans ce cas on fait $\lim \limits_{y \to y_0} \int_{a(y)}^{b(y)} {f(x,y)dx}=\int_{\lim \limits_{y \to y_0} a(y)}^{\lim \limits_{y \to y_0} b(y)} \lim \limits_{y \to y_0} f(x,y)dx$ ?