Equivalent d'une suite

SoaD25 · 27/06/2012 - 12h40

Bonjour, je cherche à déterminer un équivalent de la suite $I_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{ln(1-x)} dx$

On voit que cette suite converge vers 0 d'après le théorème de convergence dominée.
J'ai essayé le changement de variable u=x^(n+1), sans succès. A part ça je ne vois pas du tout comment procéder

Des pistes ? Merci

SoaD25 · 28/06/2012 - 18h00

Personne ?

gg0 · 28/06/2012 - 19h14

Si la suite n'est pas donnée ....

SoaD25 · 28/06/2012 - 22h39

Et pourtant elle l'est !

Tiky · 28/06/2012 - 23h23

Bonjour,

Une petite remarque, utiliser le théorème de convergence dominée est inutile ici. Il suffit de remarquer que $x \to \frac{x}{\ln(1-x)}$ tend vers -1 lorsque x tend vers 0.
Donc cette fonction est bornée sur $[0, 1]$ et il suffit de la majorer grossièrement pour conclure.

Je ne sais pas si ça te fera avancer, mais on peut déjà montrer que la suite est un petit o de $\frac{1}{n}$ . En effet :
$(n+1) I_n = \int_0^1 (n+1)x^n \frac{x}{\ln(1-x)} dx = \left [ x^{n+1} \frac{x}{\ln(1-x)}\right ]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{\ln^2(1-x)}\left (\ln(1-x)+\frac{x}{1-x}\right ) dx$

Donc $n I_n = -\int_0^1 \frac{x^{n+2}}{(1-x)\ln^2(1-x)} dx$

Le dernier terme tend bien vers 0 en utilisant le théorème de convergence dominée. En effet on a que :
$\forall x \in ]0, 1[,\ \forall n \in \mathbb{N},\ \|\frac{x^{n+2}}{(1-x)\ln^2(1-x)}\| \leq \frac{x^2}{(1-x)\ln^2(1-x)}$
La dernière expression est bien intégrable sur $[0, 1]$ . L'intégrale est même calculable.

Finalement on a bien que $I_n = o(\frac{1}{n})$

gg0 · 29/06/2012 - 09h30

Désolé SoaD25 ,

mais la suite n'apparaissait pas, même en y revenant. Le problème a dû se résoudre sans moi.

Cordialement.

JJacquelin · 29/06/2012 - 11h45

Salut gg0

si tu tiens à voir la suite des I_n explicitée : page jointe.
Mais c'est une information qui n'ajoute rien à ce qu'à donné Tiky.

SoaD25 · 30/06/2012 - 18h34

Merci à vous.

ericcc · 02/07/2012 - 17h26

Envoyé par JJacquelin

Salut gg0

si tu tiens à voir la suite des I_n explicitée : page jointe.
Mais c'est une information qui n'ajoute rien à ce qu'à donné Tiky.

Formules intéressantes...comment les obtiens tu ? En faisant le changemnt de variable 1-x=exp(t) ?

JJacquelin · 02/07/2012 - 21h11

Voilà comment j'ai obtenu ces formules (en page jointe) :

ericcc · 03/07/2012 - 08h18

Oui c'est bien ce qu'il me semblait...
Mais cela ne nous donne toujours pas la réponse à la question de l'équivalent. Mais je ne connais pas grand chose à la Transformée de Laplace. Il y a peut être une propriété qui serait utile ?

Equivalent d'une suite