espace complet

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bonjour,

J'aurai 2 questions sur 2 démo: (E,d) est un espace métrique

1)Toute partie complète de (E,d) est fermé:
F une partie complète de E
Comment sait-on qu'il faut prendre un x dans E et adhérent à F?


2)Toute partie fermée d'un espace métrique complet est complet
soit E(d) un espace métrique complet et F une partie fermée
soit (Un) une suite de Cauchy de F. Comme F est dans E, (Un) est une suite de Cauchy de E et donc elle converge vers x'

Mais pourquoi x' est adhérent à F?



merci de votre aide

[taladris]

Salut,

bonjour,

J'aurai 2 questions sur 2 démo: (E,d) est un espace métrique

1)Toute partie complète de (E,d) est fermé:
F une partie complète de E
Comment sait-on qu'il faut prendre un x dans E et adhérent à F?

Tout d'abord, il y a un souci: tu ne cites pas les démonstrations en question!! En topologie, il y a parfois plusieurs manières de montrer qu'un ensemble est fermé. Bon, x est dans E car il ne peut pas être ailleurs! J'imagine que la preuve consiste à montrer que F est fermé en montrant que F=cl(F) (cl(F) est l'adhérence de F). Puisque F est inclus dans cl(F), alors il ne reste que l'autre inclusion à vérifier. Donc on choisit x dans cl(F) et on montre qu'il est en fait dans F.

2)Toute partie fermée d'un espace métrique complet est complet
soit E(d) un espace métrique complet et F une partie fermée
soit (Un) une suite de Cauchy de F. Comme F est inclus dans E, (Un) est une suite de Cauchy de E et donc elle converge vers x'

Mais pourquoi x' est adhérent à F?
merci de votre aide

Parce que F est fermé et que la suite (Un) est à valeurs dans F.