Rectangle inscrit dans une ellipse

[sarlimon]

Bonjour, tout d'abord merci du temps que vous m'accorder.
J'ai récemment passé l'examen d'entrée à une école d'ingénieur.
Il s'agit d'un exercice d'analyse qu'il pourrait bien me mettre demain (je passe un oral car j'ai moyennement réussi cette partie):

Soit un rectangle de longueur R et S avec R le grand côté inscrit dans une ellipse de demi grand axe a et de demi petit axe b.
1/ Exprimer R et S en fonction de a et b pour que l'air du rectangle soit maximale
2/ Exprimer R et S en fonction de a et b pour que le périmètre du rectangle soit maximal
3/ Exprimer R et S en fonction de a et b pour que le périmètre du rectangle soit minimal

Merci de me répondre rapidement, en effet je passe l'oral demain matin donc c'est une urgence :s

[toothpick-charlie]

j'ai l'impression que les côtés du rectangles sont nécessairement parallèles aux axes del'ellipse mais je ne sais pas comment le prouver.
Si on admet ce point, ce n'est pas difficile : il suffit d'écrire l'équation de l'ellipse de centre de symétrie 0 et dont les axes sont l'axe des x et celui des y, et le rectangle est déterminé par un point de l'ellipse dans le quadrant x>0, y>0. Le périmètre est 4 fois la somme des coordonnées de ce point et l'aire 4 fois leur produit.

[sarlimon]

un rectangle inscrit dans une ellipse a forcément ses côtés parallèles aux axes de l'ellipse, il suffit de se dire que le carré est un rectangle particulier et que le cercle est une ellipse particulière sachant que le carré a forcément ses axes parallèles à un diamètre. Ca me parait logique et je vois pas comment inscrire un rectangle autrement dans une ellipse.
Pourrais-tu développer un peu, ça a peut-être l'air plus simple pour toi, je ne suis pas encore familier avec ce genre d'énoncé.
Il faut bien exprimer r et s en fonction de a et b pour

[albanxiii]

Bonjour,

Avec une homothétie de rapport b/a selon le grand axe, ou de a/b selon le petit axe, on se ramène au problème d'un rectangle inscrit dans un cercle.
Mais je ne sais pas si c'est valide, puisque les distances ne sont pas conservées dans cette transformation.

Bonne journée.