Surface compacte.

[MissPacMan]

Bonjour,
Si l'on considère X une surface topologique connexe, on peut la compactifier de la manière suivante. On considère B(X) la limite projective des pi_0(X-K), pour K parcourant l'ensemble des parties relativement compactes de X, ce sont les bord idéaux de X (ou ces "bouts").
On peut ensuite mettre sur X union (disjointe) B(X) une topologie le rendant compacte, notée disons X'.
Avez vous un exemple de telle surface telle que X' ne soit pas une surface topologique?

[Amanuensis]

Qu'est-ce que cela donne pour R² privé des deux boules fermées (centre (1,0), rayon 1) et (centre (-1,0), rayon 1) ?

[Je ne cherche pas à répondre à la question, juste à comprendre la construction.]

[MissPacMan]

Cela donne la sphere, c'est R² privé de deux disque union 3 points. Disons a,b et infini, les voisinage des a (resp de b) sont voisinages du premier (resp. second) disque que vous avez enlevé; le voisinages de l'infini sont les complémentaires de compacts dans R^2. Ca s'identifie au compactifié d'alexandroff du plan, la sphère.

[Amanuensis]

Je ne comprends pas. Deux problèmes.

- Si je prends R² moins une boule fermée, il y a deux bouts, j'aurais pensé que la construction que vous indiquez donne le cylindre fermé [-1,1]xR, et non pas le compactifié d'Alexandrov.

- Dans le cas de deux boules fermées enlevées avec un point commun, je ne vois pas comment le complémentaire d'un relativement compact peut avoir deux parties disjoints près du point (0,0). Du coup je ne vois pas comment on peut arriver à trois bouts au total. J'aurais pensé que le résultat était soit la même chose qu'en partant de R² moins un point, soit une surface non topologique R² moins les deux boules ouvertes, le point (0,0) étant singulier.

Peut-être que mon erreur est de penser que B(X) est un ensemble de cercles, si c'est un ensemble de points c'est différent.

Ceci dit le compactifié d'Alexandroff du plan moins deux points n'est pas la sphère (et n'est pas une surface topologique, le point ajouté est singulier).

[MissPacMan]

Arf chuis bete, j'avais pas fait attention que vos cercles étaient non disjoints.
Pour le compactifié de plan moins un disque ca n'est pas le cylindre mais bien la sphère, enfin à moins que je me méprenne sur la topologie que l'on met sur cette espace. Par contre les bouts sont bien des points oui, pas des cercles.
Du coup vous obtenez quand meme la sphere, du moins j'en ai l'impression (ce ne sera pas un cylindre). Vous ne rajoutez qu'un point a R² privé de votre "huit".
Pour le reste je parlais bien du compactifié d'alexandroff du plan, pas du plan privé de points.
Mais il est possible que je comprenne mal la construction.

[Amanuensis]

Toujours pour vérifier si je comprends bien, la construction donne la sphère pour tous les cas de sphère privée d'un nombre fini de points ? Et donc pour tous les cas d'une sphère privé d'un nombre fini de compacts connexes d'intersection vide deux à deux ?

[MissPacMan]

Pas exactement (mais pas loin) par exemple si l'on privé la sphère d'un cercle, et qu'on compactifie on obtient deux spheres.
Je me demande si qqch du style une sphere privé d'un ensemble de cantor ne donnerai pas qqch de satisfaisant.

[Amanuensis]

Pas exactement (mais pas loin) par exemple si l'on privé la sphère d'un cercle, et qu'on compactifie on obtient deux spheres.

(Toujours pour ma compréhension.) Pourquoi n'obtient-on pas deux sphères avec un point commun (le compactifié d'Alexandrov, ce coup-là)?

[Amanuensis]

Après relecture : la sphère privée d'un cercle me semble ne pas respecter l'énoncé message #1:

Si l'on considère X une surface topologique connexe

Non ?

[MissPacMan]

On obtient deux spheres parce qu'il y a deux composantes connexes au voisinage d'un cercle dans la sphere si on prend des voisinage "cofinal" (si vous prenez des voisinages de plus en plus fin, au bout d'un moment vous aurez des couronnes fendues dans le sens de la longeur donc deux composantes connexes, dont deux point dans limite projective des Pi_0 )

Il est vrai que cet exemple ne respecte pas l'enoncé, mais c'etait juste pour répondre a votre interrogation concernant le fait que la sphere privé d'un compact connexe et recompactifé donne la sphere. Ce sera vrai si on prend un compact convexe (ou un union fini de compact convexe disjoint), je parle de convexe dans le sens convexe apres projection stereographie vis a vis d'un point exterieur au compact).

[Amanuensis]

Une autre question. Le plan privé des points (0, 1/n) n parcourant Z* n'est pas une surface topologique, me trompe-je ? (Car le point (0,0) est singulier, non ?)

N'y aura-t-il pas le même phénomène avec le plan privé d'un Cantor ?

[Amanuensis]

Annulé.......

[MissPacMan]

Une autre question. Le plan privé des points (0, 1/n) n parcourant Z* n'est pas une surface topologique, me trompe-je ? (Car le point (0,0) est singulier, non ?)

C'est exact, le point (0,0) ne possede pas de voisinage homéo à R^2.

N'y aura-t-il pas le même phénomène avec le plan privé d'un Cantor ?

Non, car ce dernir est compact (donc fermé).

[Amanuensis]

En essayant de réfléchir sur des cas de sphère privée d'un compact plus simple qu'un Cantor, j'ai l'intuition qu'aucun point non isolé de l'ensemble retiré ne peut être "bouché". Ce qui laisserait penser que la procédure laisse invariante une sphère privé d'un Cantor ?

Un cas simple est de priver des (1/n, 0) et de (0,0), il me semble que le résultat de la procédure bouche tous les trous sauf le (0,0). Est-ce bien le cas ?

[MissPacMan]

A priori ca ne peut pas etre le cas (enfin ca depend de ce que vous entendez par "boucher") ce qui est sur c'est que le resultat de la compactification est compact (l'espace est connexe et loc connexe et c'est un fait general pour ces espaces).

Dans votre cas j'ai l'impression que l'espace des bouts est simplement la limite projective des {1,...,n}, avec les fleches donnant l'inclusion des composantes connexes.