Probleme avec les matrices

[antoine23]

Bonjour, je pose mon problème :
Soit Xa(A)=aX+a' et Xb(X)=bX+b' deux polynômes caracteristiques des matrices A et B respectivement.
De plus a' et b' sont premiers entre eux

Montrer qu'il existe deux polynômes U et V telles que UA+VB=Id

[God's Breath]

Bonjour,

Dans quel(s) monde(s) vivent X, a, a', b, b', A, B, UA, VB, Id ?

[antoine23]

Pardon je me suis trompé U et V ne sont pas des polynomes mais des entiers relatifs. Autrement a,a',b,b' sont des entiers relatifs, A et B sont deux matrices et Id est l'idendité

[God's Breath]

Xa(A)=aX+a' et Xb(X)=bX+b' deux polynômes caracteristiques des matrices A et B respectivement.

Malgré les éclaircissements, l'énoncé reste abscons.

Si les polynômes caractéristiques sont du premier degré (en admettant que X soit une indéterminée...), les coefficients dominants a et b sont bien connus, et les matrices A et B sont de taille 1, donc le problème se réduit à une question purement numérique.

[antoine23]

J'ai fait une erreur (enfin plusieurs mais bon)
Je repose l'énnoncé.

Soit Xa(X)=P(A)+a et Xb(X)=Q(A)+b deux polynômes caractéristiques des matrices A et B respectivement
De plus a et b sont premiers entres eux
a,b sont des entiers relatifs et P,Q sont deux polynômes de degrés n-1

Question: Montrer qu'il existe deux polynômes U et V telles que U(A)+V(B)=Id

[antoine23]

c'est Xa(X)=P(X)+a et Xb(X)=Q(X)+b

[God's Breath]

Bonjour,

L'énoncé serait-il le suivant ?

Soient et deux matrices de taille à coefficients entiers, de polynômes caractéristiques respectifs : et , où et sont des entiers relatif, et deux polynômes de degrés .
De plus et sont premiers entres eux.

Question: Montrer qu'il existe deux polynômes et telles que , où est la matrice unité de taille .

[antoine23]

Non les polynômes caractéristiques sont respectivement Xa(X)=P(X)+a et pareil pour celui de B
Mais c'est bon je viens de trouver la solution et c'est le même raisonnement lorque c'est XP(X) ou P(X)

[antoine23]

Xa et Xb sont des polynômes caractéristiques donc d'après cayley-Hamilton, Xa et Xb sont deux polynômes annulateurs de A et B
donc P(A)+a*Id=0*Id
Q(B)+b*Id=0*Id
or a^b=1 donc il existe u,v deux entiers relatifs telles que au+bv=1
uaId+vbId=Id
en remplacant on a -uP(A)-vQ(B)=Id
on pose U(X)=-uP(X) et V(X)=-vQ(X)

et on a bien U(A)+V(B)=Id

[God's Breath]

Je reviens sur cet exercice l'égalité à établir est-elle : ou ?

[antoine23]

ben ca dépend, dans mon cas où Xa et Xb étaient de la forme Xa(X)=P(A)+a, il fallait établir l'égalité suivante:
U(A)+V(B)= Id mais si on prend Xa de la forme Xa(X)=XP(X)+a, il faut établir AU(A)+BV(B)=Id