Fonction paramétrée

[kaderben]

Bonjour
Voici un exo de terminale S
On donne la fonction Fn(x)=x^3-3nx+1 sur [0 ;1] et n dans N*
On note An l’abscisse d’intersection de la courbe Cn et l’axe des abscisses
1°) Variations de Fn puis montrer que Fn(x)=0 admet une solution unique notée An sur [0 ;1]
2°) Position relative de Cn et C(n+1)
3° Endéduire que la suite (An) est décroissante sur [0 ;1] puis qu’elle est minorée
Aide : s’intéresser au signe de Fn( A(n+1) )

Réponses

1°) et 2°) Aucun problème
Fn strictement décroissante, théorème des valeurs intermédiaires Fn(x)=0 admet une solution unique et C(n+1) en dessous de Cn sur [0 ;1]
3°) C’est l’aide que je n’ai pas comprise. Puisque A(n+1) est l’abscisse d’intersection de la courbe C(n+1) et l’axe des abscisses , alors Fn( A(n+1)) = 0 : je ne vois pas à quoi ça sert.

Sinon je m’y prends comme ceci :
Puisqu’on a montré que 0<= An <= 1 et Fn décroissante et C(n+1) en dessous de Cn sur [0 ;1] alors la suite (An) est décroissante et minorée par 0.

Merci pour vos commentaires
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[gg0]

Bonsoir.

"Puisque A(n+1) est l’abscisse d’intersection de la courbe C(n+1) et l’axe des abscisses , alors Fn( A(n+1)) = 0 "
Tu y crois vraiment ?? La courbe C(n+1) est celle de quelle fonction ?

Cordialement.

NB : C'est une jolie astuce !

[PlaneteF]

Bonsoir,

Puisque A(n+1) est l’abscisse d’intersection de la courbe C(n+1) et l’axe des abscisses , alors Fn( A(n+1)) = 0

Non c'est faux ... A_n+1 étant l'abscisse du point d'intersection de la courbe C_n+1 avec (x'Ox), alors on peut écrire F_n+1(A_n+1) = 0, ... mais pas ce que tu as écrit.

Sinon je m’y prends comme ceci :
Puisqu’on a montré que 0<= An <= 1 et Fn décroissante et C(n+1) en dessous de Cn sur [0 ;1] alors la suite (An) est décroissante et minorée par 0.

Tu ne démontres absolument rien en écrivant cela. Tu ne fais qu'énoncer les résultats trouvés précédemment, puis tu énonces le résultat final ... OK, mais comment fais-tu le lien entre tout cela, ... c'est justement cela qu'on appelle une démonstration

[kaderben]

Bonjour
Exact, A(n+1) est l'abscisse telle que Fn+1( A(n+1) )=0
On sait que A(n+1) <= An
On a

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

Bonjour
Exact, A(n+1) est l'abscisse telle que Fn+1( A(n+1) )=0
On sait que A(n+1) <= An car C(n+1) en dessous de Cn
On applique Fn à ces réels, Fn( A(n+1) ) >= Fn( An) car Fn décroissante
Donc Fn( A(n+1) ) >= 0 car Fn( An)=0

Quelle conclusion pourrai-je tirer ?

[PlaneteF]

On sait que A(n+1) <= An car C(n+1) en dessous de Cn

Encore faut-il le démontrer, ... graphiquement on "sent" le lien entre les 2, mais cela n'en fait pas une démonstration.

Donc justement pour le démontrer véritablement, l'énoncé te propose d'étudier le signe de F_n(A_n+1) et d'utiliser ainsi ce résultat ...

[kaderben]

Alors Fn( A(n+1)) = (A(n+1)) ^3 -3nA(n+1)) +1 = A(n+1)) [ (A(n+1))^2 -3n]+1
(A(n+1))^2 -3n<= 0 car 0<= A(n+1) <=1
et A(n+1))^2 -3n+1<= 1
Je suis un peu perdu...

[PlaneteF]

Alors Fn( A(n+1)) = (A(n+1)) ^3 -3nA(n+1)) +1 = A(n+1)) [ (A(n+1))^2 -3n]+1
(A(n+1))^2 -3n<= 0 car 0<= A(n+1) <=1
et A(n+1))^2 -3n+1<= 1
Je suis un peu perdu...

Ouh là là, ... mais c'est infiniment plus simple que çà, ... tu as effectivement perdu le fil de l'énoncé.

Repartons de la base :

Dans la question 2) tu as démontré que la courbe C_n+1 est en dessous de la courbe C_n --> Maintenant comment traduis-tu simplement ce résultat ? ...

Ensuite applique cette traduction pour démontrer que F_n(A_n+1)>=0

[kaderben]

Alors on sait que C(n+1) est en dessous de la courbe Cn donc A(n+1) <= An
on applique Fn, donc Fn( A(n+1) ) >= Fn(An) car Fn décroissante
mais Fn( An ) = 0 , donc Fn( A(n+1) ) >=0
Avec ça je ne vois pas comment conclure que la suite (An) est minorée

[gg0]

Encore une fois, tu utilises la conclusion sans l'avoir démontré.

F_n(A_n)= 0 et C(n+1) est en dessous de la courbe Cn donc F_n+1(A_n) ...
Or F_n+1 est décroissante donc ..

A chaque étape, tu appliques soit un résultat déjà démontré, soit un théorème ou une définition. Sinon, c'est du baratin, pas une preuve (le baratin, on a le choix d'y croire ou pas).

[kaderben]

Bonjour ggO
PlaneteF utilise Fn( A(n+1) ) comme l'énoncé et toi tu utilises F(n+1)(An), je suis un peu perdu...

[PlaneteF]

Alors on sait que C(n+1) est en dessous de la courbe Cn donc A(n+1) <= An

Euuuuhhhh, ... tu ne vas pas nous la ressortir à chaque fois celle là ... Et c'est toujours la même remarque, il faut justement démontrer ton "donc", ... et patati et patata ... --> Cf. messages plus haut.

Bonjour ggO
PlaneteF utilise Fn( A(n+1) ) comme l'énoncé et toi tu utilises F(n+1)(An) (...)

Ces 2 façons de faire "fonctionnent" et conduisent au même résultat.

(...) je suis un peu perdu...

Oui effectivement ...

Pour traduire le fait que la courbe est en dessous de la courbe , on peut écrire :

Je te laisse choisir judicieusement pour arriver au résultat :

A partir de cette inégalité, il faut exprimer (c'est-à-dire le 2^e membre de cette inégalité) à l'aide de la fonction , puis tu utilises le fait que la fonction est décroissante, et tu conclus ...

[kaderben]

Sur [0;1] F(n+1)(x) <= Fn(x)
Puisque A(n+1) dans [0;1] alors F(n+1)(An+1) <= Fn(An+1) et F(n+1)(An+1) = 0 , donc Fn(An+1) >=0
Comme Fn(An)=0 alors Fn(An+1) >= Fn(An). Fn décroissante, donc 0<=An+1 <= An<=1
On en déduit que la suite (An) est décroissante et minorée par 0
Cette fois ci c'est bon, je l'espère !

[gg0]

Il n'y a pas à espérer,

seulement vérifier qu'à chaque étape tu utilises une propriété élémentaire (où 2 à la fois sur des éléments distincts). Et ça tu peux le faire !

Cordialement.

[kaderben]

Tu veux dire qu'il faut expliquer les étapes par des phrases, par exemple:
Fn(An+1) >= Fn(An). Fn décroissante alors les réels et les images sont rangées dans l'ordre inverse, donc 0<=An+1 <= An<=1

[gg0]

Non,

mais que tu dois savoir quelle règle tu utilises à chaque fois, pour être sûr que tu as une vraie raison de passer d'une écriture à une autre et que tu as bien appliqué la règle. Comment crois-tu qu'on fait ? On ne connaît pas par coeur tous les exercices avec leurs diverses solutions !

Ici c'est assez simple, c'est du remplacement en utilisant les hypothèses et l'utilisation de la définition de "décroissante".

Ce n'est pas une question de présentation (la présentation, c'est pour celui qui lit), mais de sérieux (ais-je fait une vraie preuve, ou seulement fait semblant ?), de volonté de ne pas tricher avec soi-même. C'est l'hygiène de base des mathématiques.
De la même façon, quand ton prof fait une étape que tu ne comprends pas, tu es fondé à lui demander quelle règle est appliquée. S'il n'est pas capable de le dire, il a triché (avec vous cette fois-ci !) et n'est pas un prof sérieux. Cependant, dans la présentation des résultats de base, en lycée, on est amené à admettre pas mal de résultats en cours. Le prof sérieux le dit bien; et fait la différence avec les mises en oeuvre (exercice, problèmes,...) qui appliquent ces résultats de base.

Cordialement.

[kaderben]

Merci pour toute ces aides, sans quoi je ne pouvais avancer.
Mais j'avoue que je ne comprends pas bien ton message ci dessus.
En plus simple, est ce que je suis arrivé à faire quelquechose ou bien c'est faux !
Est ce que tu peux me donner un exemple ou' je n'ai pas appliqué la règle et laquelle ?
( non plus il ne faut pas que cela te prenne beaucoup de ton temps)
Et merci pour tout.

[gg0]

Je croyais pourtant avoir été clair.

Si je te dis "c'est bon" et que à un moment, il n'y a pas application d'une règle que tu connais, c'est bon pour moi, mais toi tu as fait faux (tu as inventé un résultat, qui est par hasard juste cette fois et qui sera faux la prochaine fois) et tu es confirmé dans un fonctionnement idiot !
Donc je t'ai renvoyé à toi-même : Tu es aussi intelligent que moi, tu peux faire ce travail basique de vérification

Cordialement.

NB : Si tu avais écrit une énormité, je te l'aurais dit !